問題
図において，は一辺の長さ1kmの正方形で，，はそれぞれ辺，の中点である．
いま，甲，乙は同時刻にそれぞれ，を出発し，同じ一定の速さで歩くものとする．甲は図の実線で示した道上を進み，乙は実線で示した道上を進み，30分後に甲はに，乙はに到着した．
甲、乙が最も近づいたのは出発後何分後か．また，そのときの両者の間の距離はいくらか．
% 図は省略
出典：東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
正方形を座標平面に置き，2人がそれぞれ中点に着く15分前後で場合を分ける。速さが同じで各道が2つの等しい線分からなるため，前半も後半も同じ割合で進む。位置座標を一次式で表し，距離そのものではなく距離の2乗を2次関数として最小化する。最後に前半と後半の両方を比較する。 前半と後半で別々の2次関数を作り，端点ではなく内部で最小になることも確認する。
解答
正方形を とおく。このとき である。
まず道の長さを確認する。 である。甲も乙も全体で km を30分で歩くので，それぞれ15分後に中点 に着く。
出発後 分とする。
まず のときを考える。 とおくと，甲と乙の位置は である。したがって2人の距離の2乗を とすると
である。平方完成すると である。よって前半では すなわち 分後に最小となり，距離は である。
次に のときを考える。 とおくと，甲と乙の位置は
である。距離の2乗を とすると
である。よって後半では すなわち 分後に最小となり，距離は同じく である。
以上より，2人が最も近づくのは であり，その距離は である。