東京大学 1985年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ は $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ なる実数とし， $A = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} (a^{2} ab ab b^{2})$ ， $I = (1001)$ とおく．行列 $A^{3}$ ， $(I - A)^{2}$ の表す一次変換による点 $P (x, y)$ の像を，それぞれ $Q$ ， $R$ とする．ただし， $Q$ ， $R$ はいずれも $P$ と一致しないものとする．

(1) $∠ QP R$ の大きさを求めよ．

(2) $△ P QR$ の面積を $a$ ， $b$ ， $x$ ， $y$ を用いて表せ．

出典：東京大学 1985年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

行列 $A$ が $(a, b)$ 方向への正射影を表すことをまず確認する。すると $A^{2} = A$ ， $(I - A)^{2} = I - A$ となり，点 $P$ は互いに垂直な2つの成分 $Q$ ， $R$ に分解される。角は $P Q = - R$ ， $P R = - Q$ から直角と分かる。面積は2つの射影成分の長さを掛ければよい。

解答

(1)

u = (a b)

とおく。条件より $u \neq = 0$ である。与えられた行列は $A = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} u u^{T}$ であり，これは点の位置ベクトルを $u$ の方向へ正射影する一次変換である。

実際，

A^{2} = \frac{1}{( a ^{2} + b ^{2} ) ^{2}} u (u^{T} u) u^{T} = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} u u^{T} = A

である。したがって $A^{3} = A, (I - A)^{2} = I - 2 A + A^{2} = I - A$ である。

点 $P (x, y)$ の位置ベクトルを $p$ とすると $q = A p, r = (I - A) p$ であり， $p = q + r$ である。また $A (I - A) = A - A^{2} = 0$ だから， $q$ と $r$ は直交する。問題の条件より $Q \neq = P$ ， $R \neq = P$ なので， $r \neq = 0$ ， $q \neq = 0$ であり，角はきちんと定まる。

ここで

P Q = q - p = - r, P R = r - p = - q

である。 $q ⊥ r$ だから $∠ QP R = 9 0^{\circ}$ である。

(2)

$Q$ は $(a, b)$ 方向への射影であるから，その長さは $O Q = \frac{∣ a x + b y ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ である。また $(a, b)$ に垂直な方向として $(- b, a)$ を取ると， $R$ の長さは $O R = \frac{∣ - b x + a y ∣}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{∣ a y - b x ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ である。

(1)

より $△ P QR$ は $P$ を直角とする直角三角形であり， $P Q = O R, P R = O Q$ である。したがって面積を $S$ とすると

S = \frac{1}{2} P Q \cdot P R = \frac{1}{2} O R \cdot O Q = \frac{∣ ( a x + b y ) ( a y - b x ) ∣}{2 ( a ^{2} + b ^{2} )}

である。

東京大学 1985年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(1)

東京大学 1985年度
文系数学第1問