解答
{まず f(x)=xn+ax+b とおく。
1. n が奇数のときこのとき xn は奇関数なので ∫−11xndx=0,∫−11xdx=0 である。したがって ∫−11f(x)dx=2b=0 より b=0 である。また
∫−10xndx=−n+11,∫−10xdx=−21
だから −n+11−2a=0 となり a=−n+12 である。よって f(x)=xn−n+12x である。
このとき
F(x)=∫−1x(tn−n+12t)dt=n+1xn+1−x2
である。n−1 は偶数なので F(x)=n+1x2(xn−1−1) である。したがって F(x)=0 となるのは x=−1,x=0,x=1 である。ただし x=0 では符号は変わらない。実際，∣x∣<1 では xn−1−1<0，∣x∣>1 では xn−1−1>0 である。よって G′(x)=F(x) は，x=−1 で正から負へ，x=1 で負から正へ変わる。
したがって G は x=−1 で極大,x=1 で極小 となる。値は G(−1)=0 であり，
G(1)=∫−11n+1xn+1−x2dx=n+11(n+22−32)=3(n+1)(n+2)2(1−n)
である。
2. n が偶数のときこのとき ∫−11xndx=n+12,∫−11xdx=0 であるから n+12+2b=0 より b=−n+11 である。また
∫−10xndx=n+11,∫−10xdx=−21
だから n+11−2a−n+11=0 より a=0 である。よって f(x)=xn−n+11 である。
このとき
F(x)=∫−1x(tn−n+11)dt=n+1xn+1−x=n+1x(xn−1)
である。n は偶数なので，F(x)=0 となるのは x=−1,x=0,x=1 である。符号を調べると，x<−1 で負，−1<x<0 で正，0<x<1 で負，x>1 で正である。したがって G は x=−1,1 で極小,x=0 で極大 となる。
値は G(−1)=0 であり，F は奇関数なので G(1)=∫−11F(x)dx=0 である。また
G(0)=∫−10n+1xn+1−xdx=n+11[−2x2+n+2xn+2]−10=2(n+1)(n+2)n
である。
以上をまとめると，奇数 n では
f(x)=xn−n+12x,x=−1 で極大値 0,x=1 で極小値 3(n+1)(n+2)2(1−n)
であり，偶数 n では
f(x)=xn−n+11,x=0 で極大値 2(n+1)(n+2)n,x=−1,1 で極小値 0
である。}
