東京大学 1984年度
理系数学 第6問

解答

点 $P(a,b)$ に関して対称な点を考える。領域 $D$ は $y\geqq x^2$ である。点 $(x,y)$ が、$D$ の点 $(X,Y)$ を $P$ に関して対称移動した点であるとすると $X=2a-x,Y=2b-y$ である。条件 $Y\geqq X^2$ は $2b-y\geqq (2a-x{)}^2$ だから、$U$ は $U:y\leqq 2b-(x-2a{)}^2$ で表される。

1. $D\cap U\ne \varphi$ の条件

$D\cap U\ne \varphi$ となるためには、ある $x$ について $x^2\leqq 2b-(x-2a{)}^2$ となればよい。これは $x^2+(x-2a{)}^2\leqq 2b$ である。左辺の最小値は $x=a$ のとき $2a^2$ だから $b\geqq a^2$ が必要十分である。

2. $E\cap U\ne \varphi$ の条件

同様に $E:y\geqq (x-4{)}^2$ なので、$E\cap U\ne \varphi$ となるためには $(x-4{)}^2\leqq 2b-(x-2a{)}^2$ となる $x$ が存在すればよい。すなわち $(x-4{)}^2+(x-2a{)}^2\leqq 2b$ である。左辺の最小値は $2(a-2{)}^2$ だから $b\geqq (a-2{)}^2$ が必要十分である。

3. $D\cap E\cap U=\varphi$ の条件

$D\cap E$ は、2つの放物線 $y=x^2,y=(x-4{)}^2$ の両方の上側である。この2つは $x=2$ で交わり、下側境界は

である。

したがって $D\cap E\cap U$ が空でないためには、次のどちらかが成り立てばよい。 $x\leqq 2\text{ で }(x-4{)}^2\leqq 2b-(x-2a{)}^2,$ または $x\geqq 2\text{ で }{x}^2\leqq 2b-(x-2a{)}^2$ である。

左側 $x\leqq 2$ では $(x-4{)}^2+(x-2a{)}^2$ の最小を考える。最小点は $x=a+2$ である。これが $x\leqq 2$ に入るのは $a\leqq 0$ のときで、この場合、条件 $b\geqq (a-2{)}^2$ がすでにあるため、必ず $D\cap E\cap U$ は空でなくなる。したがって求める点では $a>0$ でなければならない。

右側 $x\geqq 2$ では $x^2+(x-2a{)}^2$ の最小を考える。最小点は $x=a$ である。これが $x\geqq 2$ に入るのは $a\geqq 2$ のときで、この場合、条件 $b\geqq a^2$ がすでにあるため、やはり $D\cap E\cap U$ は空でなくなる。したがって求める点では $a<2$ でなければならない。

よって $0<a<2$ で考えればよい。このとき、上の2つの最小はいずれも境目 $x=2$ で生じる。したがって $D\cap E\cap U$ が空でない条件は $4\leqq 2b-(2-2a{)}^2$ である。これを避けるためには $4>2b-4(a-1{)}^2$ すなわち $b<2(a-1{)}^2+2$ でなければならない。

以上をまとめると、求める点 $P(a,b)$ 全体は $0<a<2,b\geqq a^2,b\geqq (a-2{)}^2,b<2(a-1{)}^2+2$ を同時に満たす部分である。図示すると、$0<a<2$ の範囲で、2つの放物線 $b=a^2,b=(a-2{)}^2$ の上側にあり、放物線 $b=2(a-1{)}^2+2$ の下側にある領域である。下側の2つの境界は含み、上側の境界は含まない。