東京大学 1984年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面において，直線 $x = 0$ を $L$ とし，曲線 $y = lo g x$ を $C$ とする．さらに， $L$ 上，または $C$ 上，または $L$ と $C$ との間にはさまれた部分にある点全体の集合を $A$ とする． $A$ に含まれ，直線 $L$ に接し，かつ曲線 $C$ と点 $(t, lo g t)$ $(0 < t)$ において共通の接線をもつ円の中心を $P_{t}$ とする．
$P_{t}$ の $x$ 座標， $y$ 座標を $t$ の関数として $x = f (t)$ ， $y = g (t)$ と表したとき，次の極限値はどのような数となるか．

i) $t \to 0 lim \frac{f ( t )}{g ( t )}$

ii) $t \to + \infty lim \frac{f ( t )}{g ( t )}$

出典：東京大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

円が直線 $x = 0$ に接するので、中心を $P_{t} = (r, s)$ 、半径を $r$ と置く。曲線 $y = lo g x$ との接点 $Q = (t, lo g t)$ では、中心が法線上にあることと、 $P Q = r$ であることを使う。そこから $f (t), g (t)$ を明示し、 $t \to 0$ と $t \to + \infty$ で主要項を比較する。

解答

円の中心を $P_{t} = (r, s)$ とおく。円は直線 $x = 0$ に接し、集合 $A$ の中にあるので、半径は中心の $x$ 座標である $r$ である。

接点を $Q = (t, lo g t)$ とする。曲線 $y = lo g x$ の $Q$ における接線の傾きは $\frac{1}{t}$ であるから、法線の傾きは $- t$ である。中心 $P_{t}$ はこの法線上にあるので $s - lo g t = - t (r - t)$ すなわち $s = - t r + t^{2} + lo g t$ である。

また $Q$ から中心までの距離は半径 $r$ に等しい。したがって $(t - r)^{2} + {s - lo g t}^{2} = r^{2}$ である。上の式から $s - lo g t = - t (r - t)$ なので $(t - r)^{2} + t^{2} (t - r)^{2} = r^{2}$ となる。集合 $A$ は曲線 $y = lo g x$ の上側なので、接点で円の中心は接線の上側、すなわち法線ベクトル $(- 1/ t, 1)$ の向きにある。したがって中心は接点より左にあり $0 < r < t$ である。このため、 $(t - r) 1 + t^{2} = r$ である。これを解くと $r = \frac{t 1 + t ^{2}}{1 + 1 + t ^{2}}$ である。

また $t - r = \frac{t}{1 + 1 + t ^{2}}$ だから $s = lo g t + t (t - r) = lo g t + \frac{t ^{2}}{1 + 1 + t ^{2}}$ である。よって

f (t) = \frac{t 1 + t ^{2}}{1 + 1 + t ^{2}}, g (t) = lo g t + \frac{t ^{2}}{1 + 1 + t ^{2}}

である。

i)

$t \to 0$ のとき $f (t) \to 0$ であり、 $g (t) = lo g t + \frac{t ^{2}}{1 + 1 + t ^{2}} \to - \infty$ である。したがって $lim_{t \to 0} \frac{f ( t )}{g ( t )} = 0$ である。

ii)

$t \to + \infty$ のとき $\frac{f ( t )}{t} = \frac{1 + t ^{2}}{1 + 1 + t ^{2}} \to 1$ である。また

\frac{1}{t} \cdot \frac{t ^{2}}{1 + 1 + t ^{2}} = \frac{t}{1 + 1 + t ^{2}} \to 1

であり、 $\frac{lo g t}{t} \to 0$ である。したがって $\frac{g ( t )}{t} \to 1$ となる。よって $lim_{t \to + \infty} \frac{f ( t )}{g ( t )} = 1$ である。

東京大学 1984年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

i)

ii)

東京大学 1984年度
理系数学第2問