問題
空間内に，3点，，を頂点とする正3角形の板がある．を軸のまわりに1回転させたとき，が通過する点全体のつくる立体の体積を求めよ．
出典：東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
高さ で三角形の板を水平に切る。切り口は 上の線分で、その半幅は である。この線分を 軸のまわりに回転すると、断面は外半径と内半径の差で表される環状の領域になる。断面積を で積分する。
解答
高さ で板 を水平に切る。頂点 は 、頂点 は にある。したがって を考えればよい。
高さ における切り口は、辺 , を同じ比で切った線分である。 で 、 で だから、その高さでの 座標は である。また 方向の半幅は、 で 、頂点 で になるので である。よって切り口は
で表される。
この線分を 軸のまわりに回転させる。高さ での内半径は であり、外半径の2乗は である。したがって断面積は
すなわち である。
よって体積は
である。 とおけば なので
である。