問題
放物線を軸のまわりに回転して得られる曲面を，原点を通り回転軸と45の角をなす平面で切る．曲面と平面で囲まれた立体の体積を求めよ．
出典：東京大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
回転対称性により、切断平面を としてよい。曲面は回転放物面 であり、平面との差を取ると になる。したがって底面は の円板で、高さが の立体として極座標で積分する。
解答
曲面 は、放物線 を 軸のまわりに回転して得られる。したがって空間内では と表せる。
平面 は原点を通り、回転軸である 軸となす角が である。曲面は 軸のまわりに対称なので、平面を回転して としてよい。
曲面と平面の高さの差は である。平方完成すると である。
したがって、曲面が平面より上にある範囲は であり、その点での高さは である。 とおくと、体積は である。極座標 を用いると となる。計算して
である。