問題
正四角錐に内接する球をとする．をいろいろ変えるとき，比のとりうる値のうち，最大のものを求めよ．
ここで正四角錐とは，底面が正方形で，底面の中心と頂点を結ぶ直線が底面に垂直であるような角錐のこととする．% 図は省略
出典：東京大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
底面の1辺を 、高さを とする。側面三角形の高さ 、表面積、体積を求める。内接球半径 は、角錐を各面を底面とする小さい四角錐・三角錐に分けて から出す。最後に 、 と置いて、比 を1変数関数として最大化する。
解答
底面の1辺を 高さを とする。側面の三角形の高さを とすると、底面の中心から辺の中点までの距離が であるから である。
正四角錐の表面積は、底面の面積と4つの側面の面積の和なので である。また体積は である。
内接球の半径を とする。角錐を、各面を底面とし内接球の中心を頂点とする小さい立体に分けると、どの小立体の高さも である。したがって である。よって となり、 である。
求める比は である。ここで とおくと であり、 となる。さらに だから である。
ここで である。関数 を微分すると である。したがって最大は のときに取られる。
このとき である。