問題
平面上ので表される領域をとする．に含まれる1辺の長さの正方形で，各辺が座標軸と平行または45の角をなすものをすべて考える．
このとき，これらの正方形の中心の座標の最小値をの関数として表し，そのグラフをかけ．% 図は省略
出典：東京大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
放物線 は左右対称で凸なので、中心の 座標を最小にする配置では、正方形の中心の 座標を としてよい。軸平行の場合は下側2頂点の条件から を得る。45度の場合は下の頂点と左右の頂点を調べ、 と の最大を取る。最後に2つの向きの小さい方を、 の範囲で整理する。
解答
放物線 は 軸に関して対称である。中心の 座標を とすると、軸平行の場合に必要な高さは であり、45度の場合も下の頂点と左右の頂点から得る下限は と を入れ替えても同じ凸な最大値になる。いずれも で最小になるため、中心を として考えればよい。
まず、辺が座標軸に平行な場合を考える。4頂点は である。最も条件が厳しいのは下側の2頂点なので、 が必要十分である。よってこの向きでの最小の高さは である。
次に、辺が座標軸と の角をなす場合を考える。このとき4頂点は
である。下の頂点から が必要であり、左右の頂点から が必要である。したがってこの向きでの最小の高さは である。
求める値は である。 では である。ここで は と同値である。 では である。ここで は と同値である。
よって
である。
グラフは、上の4つの式
を、それぞれの範囲で滑らかにつないだものである。