問題
平面上に点を中心とする半径1の円がある．また，この平面上のと異なる点を通って直線と垂直な空間直線があり，平面とのなす角が45である．このとき，円と直線の間の最短距離を，2点，間の距離で表せ．% 図は省略
出典：東京大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
座標を 、 と置き、円を 平面上の単位円にする。直線 は に垂直で、平面との角が なので、方向を 型に取れる。円周上の点と直線上の点の距離をまず直線の媒介変数で最小化し、残った の二次式を 上で最小化する。
解答
座標を取り、 とする。円 は であるとしてよい。
直線 は を通り、 に垂直であるから、方向ベクトルの 成分は である。また 平面となす角が なので、平面内の成分と 成分の大きさが等しい。よって と表せる。
円周上の点を とする。この点と直線上の点との距離の2乗は
である。
まず を固定して、 について最小にする。 を含む部分は であり、これは のとき最小になる。このとき距離の2乗は である。 とおくと、 であり、最小にすべき式は である。この二次式の頂点は である。
したがって では頂点が範囲内にあり、最小値は である。一方、 では頂点が範囲の右側にあるので、 での最小は で取られ、最小値は である。
よって最短距離は
である。