問題
，を整数として，の4次方程式の4つの解を考える．いま，4つの解の近似値-3.45，-0.61，0.54，3.42がわかっていて，これらの近似値の誤差の絶対値は0.05以下であるという．真の解を小数第2位まで正しく求めよ．
出典：東京大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
方程式は の偶関数なので、真の解は と対になっている。与えられた近似値と誤差から の範囲を絞り、 と が整数であることを利用して を確定する。その後、 の2次方程式を解き、最後に小数第2位まで丸める。
解答
方程式 は を に替えても変わらない。したがって、正の解を とすると、4つの解は である。
大きい正の解 について、近似値 の誤差は0.05以下なので また、近似値 は に対応するので これらを合わせて である。
小さい正の解 について、近似値 から であり、近似値 から である。よって である。
ここで とおくと であり、その二つの解は である。したがって である。 は整数なので、 と も整数である。
上の範囲から つまり この範囲にある整数は12だけなので また より である。この範囲にある整数は4だけなので よって を解けばよい。解は である。したがって真の解は 小数に直すと である。よって小数第2位まで正しく求めると である。
別解の視点
近似値をそのまま丸めてはいけない。誤差の幅を使い、係数が整数であることから と を一意に決めるのが本問の仕組みである。