東京大学 1982年度
文系数学 第1問

解答

点 $Q$ が取りうる条件を、まず $A$ 側と $B$ 側に分けて考える。 $AP=PQ=2$ となる点 $P$ が存在するのは、長さ2の2本の線分で $A$ から $Q$ へ折れ線を作れる場合である。これは $AQ\leqq 4$ と同値である。逆に $AQ\leqq 4$ なら、中心 $A,Q$、半径2の二つの円が交わるか接するので、その交点を $P$ に取ればよい。

同様に $QR=RB=\sqrt{2}$ となる点 $R$ が存在する条件は $BQ\leqq 2\sqrt{2}$ である。したがって $Q$ の動きうる範囲は、中心 $A$、半径4の円板と、中心 $B$、半径 $2\sqrt{2}$ の円板の共通部分である。

以下、この共通部分の面積を求める。二つの円の共通弦に、中心 $A$ から下ろした垂線の足までの距離を $x$ とする。半径を $R=4,r=2\sqrt{2},$ 中心間距離を $d=AB=2(\sqrt{3}+1)$ とおくと、直角三角形の差から $x=\frac{d^2+R^2-r^2}{2d}$ である。計算すると $x=\frac{\{2(\sqrt{3}+1){\}}^2+16-8}{4(\sqrt{3}+1)}=2\sqrt{3}.$ よって大きい円での半角を $\alpha$ とすると $\cos \alpha =\frac{x}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2},\alpha =\frac{\pi }{6}.$ 共通弦の半分の長さは $R\sin \alpha =4\cdot \frac{1}{2}=2.$ 一方、中心 $B$ から共通弦までの距離は $d-x=2.$ 小さい円での半角を $\beta$ とすると

共通部分の面積は、二つの円の弓形部分の和である。大きい円側の弓形は $R^2\alpha -x\cdot 2=16\cdot \frac{\pi }{6}-4\sqrt{3}.$ 小さい円側の弓形は $r^2\beta -(d-x)\cdot 2=8\cdot \frac{\pi }{4}-4.$ したがって求める面積は

図示するときは、中心 $A$、半径4の円板と、中心 $B$、半径 $2\sqrt{2}$ の円板を描き、その共通部分を塗ればよい。

別解の視点

面積計算では、共通弦を基準にして「扇形から二等辺三角形を引く」と見るのが最も短い。座標を置いて二つの円の方程式を引き算して共通弦の位置を求めても同じ $x=2\sqrt{3}$ が得られる。