問題
平面上の曲線上の3点を，座標の小さいものから順に，，とする．ととの座標の差は ，ととの座標の差は1，という関係を保ちながら3点，，が動く．
が最大になるときの，点の座標をで表わせ．また，が最大になるときに，が直角になるようなの値を求めよ．
出典：東京大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
の 座標を とし、直線 の傾きを と置く。直線 の傾きは なので、 の大きさは二直線のなす角で決まる。正接を用いると、最大化は の最小化に帰着する。最後に、その最大時の を使って の条件を内積で立てる。
解答
点 の 座標を とする。このとき である。
直線 の傾きは である。これを とおく。直線 の傾きは である。
二直線のなす角を とすると ここで であるから、 は のとき最大になる。今回の角は なので、 の最大と の最大は一致する。
したがって より よって、 が最大になるときの点 の 座標は である。
次に、このとき が直角になる条件を求める。 なので、 から へ向かうベクトルは である。また だから、 から へ向かうベクトルは が直角であることは と同値である。したがって なので両辺を で割って よって となり、 別解の視点 とおき、 で微分しても最大条件 が得られる。ただし本問では二直線のなす角の正接を使うと、平方完成だけで最大化できる。