問題
，，，を実数の定数として，関数を考える．
(1) 関数が3条件
(イ)
(ロ)
(ハ) のとき
をみたすのは，定数，，，がどのような条件をみたすときか．
(2) 条件(イ)，(ロ)，(ハ)をみたす関数のうちで，積分の値を最小にするものを求めよ．
方針
条件 から と置く。条件（ハ）は と に分け、 を使うと にまとめられる。これを で満たす条件は端点の比較から 、 である。(2) は積分を の2次式にし、制約のもとで最小となる を選ぶ。
解答
{(1)条件（イ）（ロ）より、 は を根にもつ。したがって と書ける。展開すると であるから、もとの係数との対応は である。すなわち が必要である。
次に条件（ハ）を調べる。 では である。ここで だから、 で割って を得る。
一方、 では とおくと、 であり、同じ計算から を得る。正の側では である。両方を同時に満たすには、大きい方を押さえればよいので が必要十分条件である。
これは と同値である。右辺は の関数として下にへこんだ形なので、区間で最も小さくなるのは端点である。端点 を調べて を得る。
したがって条件は、 と戻して
である。
(2)
とする。このとき であるから である。 で積分すると、奇関数部分の積分は0になるので
である。計算して かつ である。したがって を最小にすればよい。
(1) の条件より である。固定した に対して、 は の範囲では が大きいほど小さい。したがって許される最大の を取ればよい。 では許される最大の は であり、
これは で最小値 をとる。
では とおくと、許される最大の は である。このとき
だから、 では である。したがって全体の最小は のときにとられる。
よって
である。}