問題
放物線をで表す．上の点を通り，におけるの接線に垂直な直線を，におけるの法線という．とし，つぎの3条件をみたす点を考える．
(イ) 上の点におけるの法線の上にある．
(ロ) 領域に含まれる．
(ハ) との距離はである．
が0から1まで変化するとき，のえがく曲線をとする．このとき，ととで囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
放物線 の における接線の傾きは なので、法線方向ベクトルとして を取れる。このベクトルの長さは であり、距離条件の係数 がそのまま法線方向の移動量になる。領域 の条件から上側の法線方向を選び、 を得る。面積は水平に切り、右側の放物線 と の差を で積分する。
解答
放物線 の点 における接線の傾きは である。したがって法線方向のベクトルとして を取れる。このベクトルの長さは である。
条件（ハ）では、 と の距離が である。 だから であり、条件（ロ）の を満たす側は上向きの法線方向である。したがって である。よって となる。これが の媒介変数表示である。
ここで 上では であり、 に対して は0から1まで動く。したがって と見ると、 の 座標は である。一方、放物線 の右側の枝は である。
よって、 と で囲まれた面積 は である。計算すると
であり、 である。したがって である。