問題
半径1の円に内接する正6角形の頂点をとする．これらから，任意に(無作為に)えらんだ3点を頂点とする3角形の面積の期待値(平均値)を求めよ．ただし，2つ以上が一致するような3点がえらばれたときは，三角形の面積は0と考える．
出典：東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
3点は重複を許して独立に選ぶので、全事象は 通りである。2点以上が一致する場合は面積0なので、異なる3頂点を選ぶ場合だけ面積の総和に寄与する。正六角形の対称性を使い、異なる3頂点の作る三角形を、隣り合う頂点間の間隔の型で分類する。順序を無視した面積総和を求め、最後に3点を選ぶ順序の 倍を掛ける。
解答
3点は重複を許して無作為に選ぶので、全体の場合の数は である。2つ以上の点が一致した場合は面積0と定められているから、面積の総和に寄与するのは、3点がすべて異なる場合だけである。
異なる3頂点を順序を無視して選ぶ。正六角形の対称性により、面積は次の3種類に分けられる。
3点が連続する3頂点である場合、三角形の面積は であり、このような選び方は6通りである。
3点のうち、円周上の間隔が となる場合、面積は であり、このような選び方は12通りである。
1つおきの3頂点を選ぶ場合、正三角形になり、面積は である。このような選び方は2通りである。
したがって、順序を無視した面積の総和は
である。3点を選ぶ順序を考えると、それぞれの三角形は 通りに現れる。重複を含む場合は面積0なので、期待値は である。よって求める平均値は である。