東京大学 1981年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$\theta =\frac{\pi }{n}$ とおく。また、底面の正 $n$ 角形の外接円半径を $r$、角錐の高さを $h$ とする。底面の一辺の長さは $2r\sin \theta$ であり、底面の中心から一辺の中点までの距離は $r\cos \theta$ である。

側面の1つを考える。頂点から底辺の中点までの側面上の長さは $\sqrt{h^2+r^2{\cos }^2\theta }$ である。展開図では、各側面の頂点は、底辺の中点から外側へこの長さだけ進んだ点になる。したがって、展開図に現れる $n$ 個の頂点を通る円の半径が1である条件は $r\cos \theta +\sqrt{h^2+r^2{\cos }^2\theta }=1$ である。

これを整理する。 $\sqrt{h^2+r^2{\cos }^2\theta }=1-r\cos \theta$ であり、両辺を2乗して $h^2+r^2{\cos }^2\theta =1-2r\cos \theta +r^2{\cos }^2\theta$ を得る。よって $h^2=1-2r\cos \theta$ である。高さが正であるため $0<2r\cos \theta <1$ である。

底面積は $\frac{n}{2}{r}^2\sin 2\theta =n{r}^2\sin \theta \cos \theta$ である。したがって体積 $V$ は $V=\frac{1}{3}n{r}^2\sin \theta \cos \theta \sqrt{1-2r\cos \theta }$ である。

ここで $u=2r\cos \theta$ とおくと、$0<u<1$ であり、$r=\frac{u}{2\cos \theta }$ である。これを体積の式へ代入すると $V=\frac{n\tan \theta }{12}{u}^2\sqrt{1-u}$ となる。したがって $0<u<1$ で $g(u)=u^2\sqrt{1-u}$ を最大化すればよい。

微分すると

である。よって最大は $u=\frac{4}{5}$ のときにとられる。このとき $u^2\sqrt{1-u}=\frac{16}{25}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$ であるから $v_n=\frac{4n\tan \frac{\pi }{n}}{75\sqrt{5}}$ である。

(2)

$v_n=\frac{4}{75\sqrt{5}}n\tan \frac{\pi }{n}$ である。$n\to \infty$ のとき $\pi /n\to 0$ であり、$s\to 0$ では $\tan s/s\to 1$ であるから ${\lim }_{n\to \infty }n\tan \frac{\pi }{n}=\pi$ である。したがって ${\lim }_{n\to \infty }{v}_n=\frac{4\pi }{75\sqrt{5}}$ である。