東北大学 2026年度
理系数学 第6問

解答

(1) 点 $O$ を基準にして，

とおく。条件より $\mathbf{P}=a\mathbf{A},\mathbf{Q}=b\mathbf{B}$ である。

まず $\mathbf{P}=a\mathbf{A}$ より，点 $O,A,P$ は一直線上にある。問題の条件で $A,B,C,D,O,P$ は相異なる点であるから，$A$ と $P$ は異なり，直線 $AP$ は確かに定まる。また，$O$ はこの直線 $AP$ 上にある。平面 $\alpha$ は点 $A,B,P$ を通る平面なので，直線 $AP$ を含む。したがって $O\in \alpha$ である。

さらに $B\in \alpha$ であり，$O\in \alpha$ であるから，直線 $OB$ は平面 $\alpha$ に含まれる。ところが $\mathbf{Q}=b\mathbf{B}$ より，点 $Q$ は直線 $OB$ 上にある。したがって $\boxed{Q\in \alpha }$ である。

(2) 点 $O$ を原点とみなして考える。球面 $S$ は点 $O$ を通るので，その方程式は適当なベクトル $\mathbf{u}$ と実数 $v$ を用いて $|\mathbf{x}{|}^2+\mathbf{u}\cdot \mathbf{x}+v=0$ と書ける。ただし，$\mathbf{x}$ は点の位置ベクトルである。

直線 $OA$ 上の点は $\mathbf{x}=t\mathbf{A}$ と表せる。これを球面の方程式に代入すると $|\mathbf{A}{|}^2{t}^2+(\mathbf{u}\cdot \mathbf{A})t+v=0$ である。この2次方程式の根は，直線 $OA$ と球面 $S$ との交点を表す。点 $A$ は $t=1$，点 $P$ は $\mathbf{P}=a\mathbf{A}$ だから $t=a$ に対応する。したがって根は $1$ と $a$ である。

根と係数の関係より $1\cdot a=\frac{v}{|\mathbf{A}{|}^2}$ であるから，$v=a|\mathbf{A}{|}^2$ を得る。

同様に，直線 $OB$ 上の点を $\mathbf{x}=t\mathbf{B}$ とおくと，球面との交点を表す方程式は $|\mathbf{B}{|}^2{t}^2+(\mathbf{u}\cdot \mathbf{B})t+v=0$ である。点 $B$ は球面上にあるので，$t=1$ はこの方程式の根である。もう一つの根を $t=t_0$ とすると，根と係数の関係より $t_0=\frac{v}{|\mathbf{B}{|}^2}$ である。

一方，問題の条件より $a|\overrightarrow{OA}{|}^2=b|\overrightarrow{OB}{|}^2$ であり，先ほど得た $v=a|\mathbf{A}{|}^2$ を用いると $v=b|\mathbf{B}{|}^2$ である。したがって $t_0=\frac{v}{|\mathbf{B}{|}^2}=b$ である。つまり，直線 $OB$ と球面 $S$ との交点の一つは $t=b$ に対応する点であり，これは $\mathbf{Q}=b\mathbf{B}$ で表される点 $Q$ である。よって $Q\in S$ である。

ここで，問題の条件より $Q$ は直線 $CD$ 上にある。また，$C,D$ は球面 $S$ 上の相異なる点である。直線 $CD$ と球面 $S$ の交点は，高々2点である。すでに $C,D$ という2つの相異なる交点があるため，同じ直線 $CD$ 上で球面 $S$ に属する点 $Q$ は，そのどちらかと一致しなければならない。

したがって $\boxed{Q=C\text{または}Q=D}$ である。