問題
座標平面において，座標も座標も整数である点全体の集合上を移動する点Pがある。時刻0に点Pは原点Oにある。0以上の整数に対し，時刻tに点Pが点にあるとき，時刻での点Pの位置は4点
のいずれかであり，また，どの位置にある確率もである。以下の問いに答えよ。
(1) 時刻8に点Pが点にある確率を求めよ。
(2) 時刻8に点Pが双曲線上にある確率を求めよ。
(3) 時刻8に点Pが双曲線上にあるとき，時刻1，時刻2，…，時刻7のいずれかに点Pが点にある条件付き確率を求めよ。
方針
8回の移動後の座標は，右左上下の回数を とおくと ，， で表される。各到達点への経路数は多項係数 で数える。(1)は目的地 への経路数を直接求める。(2)は8歩で到達でき，かつ を満たす格子点を列挙して経路数を合計する。(3)は条件付き確率なので，(2)の経路のうち途中で を通るものを数える。8歩で双曲線に到達する途中で にいる時刻は6回目に限られる点を使う。
解答
各移動で右，左，上，下のいずれかに1だけ進む。8回の移動におけるそれぞれの回数を とすると， である。また，そのような回数の並べ方は 通りである。
(1) 最終位置が であるためには が必要である。， とおくと より である。したがって は である。
それぞれの経路数は
である。よって合計は 通りである。全事象は 通りなので，求める確率は である。
(2) 8歩後の点 は， で，かつ と8の偶奇が一致する点である。条件 は である。8歩で到達できる範囲でこれを満たす点を調べると， が得られる。実際， と は明らかに条件を満たし， も を満たす。
(1)より， への経路数は784通りである。対称性により への経路数も784通りである。
次に への経路数を数える。条件は である。これより で，合計に代入すると すなわち である。したがって であり，経路数は 通りである。符号を変えた についても同じく56通りである。
したがって，双曲線上にある確率の分子は である。よって求める確率は である。
(3) (2)で数えた1792通りの経路のうち，途中で点 を通るものを数える。点 までの最短歩数は である。8歩以内で にいるには，時刻6または8が考えられるが，時刻8で にいる場合は最終点が双曲線上でない。したがって，双曲線上で終わる経路が途中で を通るなら，時刻6で にいなければならない。
6歩目に に到達するには，右へ4回，上へ2回進むしかない。したがってその経路数は 通りである。
残り2歩で， から双曲線上の点に到達する可能性を調べる。(2)で得た候補のうち， から2歩で到達できるのは である。 へは下，下の1通りであり， へは右，上の順序を入れ替えて2通りである。したがって残り2歩の進み方は合計 通りである。
よって，双曲線上で終わり，かつ途中で を通る経路は 通りである。条件付き確率は であるから，求める値は である。