問題
は実数とし，実数全体を定義域とする関数
はすべてのの値で微分可能であるとする。以下の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) 関数の最小値と，それを与えるの値を求めよ。
方針
がすべての実数で微分可能であるためには，つなぎ目 で関数の値と導関数の値が一致する必要がある。この4条件から を決定する。最小値は区間 と外側 に分けて調べる。内側は3次式，外側は4次式なので，それぞれ導関数の符号または臨界点を調べ，候補の値を比較する。
解答
での式を とおき， での式を とおく。 がすべての実数で微分可能であるためには， と で値と導関数が一致しなければならない。
まず である。また である。
一方， である。したがって接続条件は であり，具体的には
である。整理すると
となる。第2式と第4式の差をとると だから である。第2式より すなわち である。第1式と第3式の差をとると だから である。ここに を代入して より を得る。最後に第1式から であるから である。よって である。
このとき外側の式は である。最小値を求める。
まず では である。臨界点は であり，端点も含めて値を調べると
である。したがって内側での最小値は である。
次に では である。方程式 の解は である。このうち に入るのは だけである。
また， であり，外側の区間で最小値の候補になるのは，つなぎ目の値とこの臨界点の値である。つなぎ目では である。 とおき， とする。臨界点では だから である。これを用いて高次の項を下げると， さらに である。したがって に代入すると， であり， となる。 なので である。
これは より小さい。よって の最小値は であり，そのときの は である。