東北大学 2025年度
理系数学 第6問

解答

(1)

正五角形の1辺の長さを1，対角線の長さを $d$ とする。正五角形の対角線を引くと，対角線どうしでできる小さい二等辺三角形と，もとの対角線を含む大きい二等辺三角形が相似になる。この相似関係から $\frac{d}{1}=\frac{1}{d-1}$ が成り立つ。したがって $d(d-1)=1$ すなわち $d^2-d-1=0$ である。$d>0$ なので $\boxed{d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ である。

(2)

正五角形 $K$ の外接円の中心を $O$ とし，内接円の半径，すなわち中心 $O$ から各辺までの距離を $\rho$ とする。1辺の長さが1であり，各辺の中点と中心を結ぶ線分はその辺に垂直である。中心角は $72^{\circ }$ なので，その半分を用いた直角三角形から $\frac{1}{2}=\rho \tan 36^{\circ }$ である。よって $\rho =\frac{1}{2\tan 36^{\circ }}$ である。

正五角形 $P$ は，中心から距離 $\rho$ にある5本の辺の内側の共通部分である。$P_{\theta }$ も同じ形を中心のまわりに $\theta$ だけ回転したものなので，$P\cap P_{\theta }$ は中心から距離 $\rho$ にある10本の直線の内側の共通部分になる。$0^{\circ }<\theta <72^{\circ }$ では，これら10本の直線の外向き法線方向は円周上に交互に並び，隣り合う法線方向の角度差は $\theta ,72^{\circ }-\theta$ を交互に繰り返す。

中心から距離 $\rho$ にある1本の辺を考える。その辺に隣り合う2本の辺の外向き法線方向との角度差をそれぞれ $u,v$ とする。この辺の両端は，中心から辺へ下ろした垂線の足から左右に $\rho an\frac{u}{2},\rho an\frac{v}{2}$ だけ離れた点になる。したがってこの辺の長さは $\rho \left(\tan \frac{u}{2}+\tan \frac{v}{2}\right)$ である。

今回の接多角形では，各辺について隣の角度差は $\theta$ と $72^{\circ }-\theta$ である。辺は全部で10本あるので，共通部分の周の長さは

である。

ここで $u=\frac{\theta }{2},v=\frac{72^{\circ }-\theta }{2}$ とおくと，$u+v=36^{\circ }$ であり，$0^{\circ }<u,v<36^{\circ }$ である。三角関数の加法定理より

である。また

である。したがって

である。等号は $u=v=18^{\circ }$，すなわち $\theta =36^{\circ }$ のときに成り立つ。

よって

である。あとはこの値を計算する。(1)より正五角形の対角線の長さは $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ であり，正五角形の中心角を用いると $2\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。この値から半角公式を用いると $\frac{\tan 36^{\circ }}{\tan 18^{\circ }}=\sqrt{5}$ が得られる。したがって $l_{\theta }\geqq \frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$ である。等号は $\theta =36^{\circ }$ で成り立つので，$0^{\circ }<\theta <72^{\circ }$ における $l_{\theta }$ の最小値は $\boxed{2\sqrt{5}}$ である。