東北大学 2025年度
理系数学 第4問

解答

(1)

共有点の $x$ 座標を $x_0$ とする。$f(x)=n\log x$ であるから $x_0>0$ である。2つの曲線が共有点をもち，その点で接線が一致するので，値と微分係数がともに等しい。すなわち $n\log x_0=a{x}_0^n$ かつ $\frac{n}{x_0}=an{x}_0^{n-1}$ である。後者は $n>0$，$x_0>0$ より $1=a{x}_0^n$ と同値である。これを値の一致の式に代入すると $n\log x_0=1$ である。したがって $\log x_0=\frac{1}{n}$ より $x_0=e^{1/n}$ である。さらに $a{x}_0^n=1$ だから $a=\frac{1}{x_0^n}=\frac{1}{e}$ である。よって $\boxed{a=\frac{1}{e}}$ である。

(2)

(1)より $g(x)=\frac{1}{e}{x}^n$ である。また $f(1)=n\log 1=0$ であり，2曲線の接点は $x=e^{1/n}$ である。$0<x<1$ では $f(x)<0$，$g(x)>0$ なので，$x$ 軸と2曲線で囲まれる部分のうち左側は $g(x)$ と $x$ 軸で囲まれる。$1<x<e^{1/n}$ では $g(x)\geqq f(x)$ となり，右側の部分は $g(x)-f(x)$ で表される。したがって $S_n={\int }_0^{1}g(x)dx+{\int }_1^{e^{1/n}}\{g(x)-f(x)\}dx$ である。つまり $S_n={\int }_0^{e^{1/n}}\frac{1}{e}{x}^{n}dx-{\int }_1^{e^{1/n}}n\log xdx$ である。

まず

である。次に $\int n\log xdx=n(x\log x-x)$ だから

である。したがって

である。

(3)

$t=\frac{1}{n}$ とおくと，$n\to \infty$ のとき $t\to +0$ である。(2) の式を $t$ で表すと $S_n=\frac{1}{1+t}\left(\frac{e^t-1}{t}-1\right)$ である。指数関数の微分係数の定義より ${\lim }_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$ であるから ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{1}{1+0}(1-1)=\boxed{0}$ である。