問題
を空間内の原点を中心とする半径1の球面とする。また，点を点とは異なる球面上の点とする。点と点を通る直線と平面との交点をとおく。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 点の座標をを用いて表せ。
(2) 平面上の点と点を通る直線をとする。直線と球面の交点のうち，点以外の交点の座標をを用いて表せ。
(3) 点を通り，ベクトルに直交する平面を考える。点が平面と球面との交わりを動くとき，点は平面上の円周上を動くことを示せ。
方針
(1) は直線 を と置き， を代入して を求める。(2) は逆に， 平面上の点 と を結ぶ直線を媒介変数で表し，球面 との交点を解く。点 以外の交点は，北極からの射影の逆写像になる。(3) では (2) の式を平面 に代入し，分母を払って の2次方程式を得る。平方完成して円の方程式に直せばよい。
解答
(1)
点 と点 を通る直線 上の点は，実数 を用いて と表せる。点 であり，また は球面上の点なので， なら となってしまう。したがって である。 平面との交点では であるから である。よって である。したがって である。
(2)
直線 は点 と点 を通る。よって直線上の点は，実数 を用いて と表せる。これが球面 上にある条件は である。整理すると すなわち である。 は点 に対応する。したがって点 以外の交点では である。これを直線の式に代入して，求める交点は
である。
(3)
平面 は点 を通り，法線ベクトルが である。したがってその方程式は すなわち である。
点 とする。(2) によれば，この に対応する球面上の点 は
である。この点が平面 上にある条件は
である。両辺に を掛けると である。整理して となる。両辺を5で割って平方完成すると すなわち である。
よって点 は， 平面上の円
の円周上を動く。