東北大学 2025年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$f(x)=x^4+\frac{4a}{3}{x}^3+(a+2)x^2$ より $f^{\prime }(x)=4x^3+4a{x}^2+2(a+2)x=2x\{2x^2+2ax+a+2\}$ である。ここで $h(x)=2x^2+2ax+a+2$ とおく。$h(x)$ の判別式を $D$ とすると $D=(2a{)}^2-4\cdot 2(a+2)=4(a^2-2a-4)$ である。したがって $h(x)$ が異なる2つの実数解をもつのは $a^2-2a-4>0$ すなわち $a<1-\sqrt{5},1+\sqrt{5}<a$ のときである。

まず $1-\sqrt{5}\leqq a\leqq 1+\sqrt{5}$ のとき，$h(x)\geqq 0$ である。したがって $f^{\prime }(x)=2xh(x)$ の符号は基本的に $x$ の符号と同じであり，$x=0$ では $-$ から $+$ に変わるか，符号を変えない。よって極大値は生じない。

次に $a>1+\sqrt{5}$ のときを考える。このとき $a+2>0$，2つの根の和は $-a<0$，積は $(a+2)/2>0$ であるから，$h(x)=0$ の2つの根はいずれも負である。小さい方から $r_1<r_2<0$ とすると，$h(x)$ は $(r_1,r_2)$ で負，その外で正である。$x<0$ では $2x<0$ だから，$f^{\prime }(x)$ は $r_2$ の前後で $+$ から $-$ に変わる。よって極大値をもつ。

次に $a<1-\sqrt{5}$ のときを考える。ここでは $h(x)$ は異なる2つの実数解をもつ。さらに $a=-2$ の場合は $f^{\prime }(x)=2x(2x^2-4x)=4x^2(x-2)$ である。このとき $x=0$ では符号が変わらず，$x=2$ では $-$ から $+$ に変わるので，極大値をもたない。

一方，$a<1-\sqrt{5}$ かつ $a\ne -2$ のときは，次のように符号変化が生じる。$a<-2$ なら $h(0)=a+2<0$ なので，$x=0$ の左側で $f^{\prime }(x)>0$，右側で $f^{\prime }(x)<0$ となり，$x=0$ で極大となる。$-2<a<1-\sqrt{5}$ なら $h(0)=a+2>0$ で，$h(x)=0$ の2根はいずれも正であるため，小さい方の根で $f^{\prime }(x)$ が $+$ から $-$ に変わる。よって極大値をもつ。

以上より，求める範囲は $\boxed{a<1-\sqrt{5}(a\ne -2),1+\sqrt{5}<a}$ である。

(2)

$f(x)=x^2\left\{x^2+\frac{4a}{3}x+a+2\right\}$ である。$x=0$ での値は $f(0)=0$ である。$x=0$ の近くでは，中括弧の中は $a+2$ に近い。

もし $a+2<0$ なら，$x=0$ に十分近い $x\ne 0$ について $x^2+\frac{4a}{3}x+a+2<0$ となる。したがって $f(x)<0=f(0)$ となり，$x=0$ で極大値をもつ。

もし $a+2>0$ なら，$x=0$ の近くで中括弧の中は正であり，$f(x)>0=f(0)$ となるので極大ではない。また $a=-2$ のとき $f(x)=x^4-\frac{8}{3}{x}^3=x^3\left(x-\frac{8}{3}\right)$ であり，$x<0$ で $x=0$ に近いとき $f(x)>0=f(0)$ となるので，やはり極大ではない。

したがって求める範囲は $\boxed{a<-2}$ である。

別解。$x=0$ での極大条件だけなら，二階導関数で見てもよい。 $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+8ax+2(a+2)$ であるから $f^{\prime \prime }(0)=2(a+2)$ である。$a<-2$ なら $f^{\prime \prime }(0)<0$ であり，$x=0$ の近くで $f(x)$ は上に凸の形になるため，$x=0$ は極大点である。$a>-2$ なら $f^{\prime \prime }(0)>0$ で極小側になる。残る $a=-2$ では $f(x)=x^4-\frac{8}{3}{x}^3=x^3\left(x-\frac{8}{3}\right)$ であり，$x=0$ の左側の十分近くでは $f(x)>0=f(0)$ となるので極大ではない。したがって，この見方でも $a<-2$ を得る。