問題
関数について，以下の問いに答えよ。
(1) 曲線の接線で，傾きが1であり，かつ接点の座標が正であるものの方程式を求めよ。
(2) 座標平面上の2点，を考える。がの範囲を動くとき，線分が通過してできる図形の概形を描け。またの面積を求めよ。
方針
(1) は を解き，接点の 座標が正の解を選ぶ。(2) は文系第4問と同じく に変換し，掃過線分を ， と見る。 は で増加， で減少するので，同じ に対応する2つの の間隔を2次方程式の根の差で求める。2区間が重なるかどうかの境目 を使って幅を分け，積分する。
解答
(1)
であるから である。接線の傾きが1である条件は である。したがって より である。接点の 座標が正であるから を選び， である。このとき なので，接線の方程式は すなわち である。
(2)
線分 上の点を とし， とおく。この変換は面積を変えない。 上では であり， である。 とおくと である。 は から であり， で増加， で減少する。また
である。
同じ に対応する2つの を とする。方程式 を整理すると である。したがって2解の差は である。
各 は 方向の区間 を作る。 では対応する は左側の1つだけなので幅は1である。 では2つの がある。2つの区間が重ならないのは のときであり，境目は から である。よって幅は
である。
したがって面積 は
である。
最後の根号を含む積分について， とおくと， で ， で であり， となる。この計算から
である。よって
である。
概形は， 平面では から まで幅1， から まで幅2，その後 に向かって2つの区間が重なりながら幅が1へ近づく図形である。元の 平面では，これを の斜め方向に戻した掃過領域になる。