問題
四面体において，，，とおき，次が成り立つとする。
ただしは，2つのベクトルとの内積を表す。さらに，線分と線分は垂直であるとする。点から3点，，を含む平面に下ろした垂線をとし，点から3点，，を含む平面に下ろした垂線をとする。
(1) とを求めよ。
(2) ベクトルをとを用いて表せ。
(3) ベクトルとベクトルは平行であることを示せ。
出典：東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
から を得る。さらに は なので， も決まる。 は の平面 への正射影なので， とおき， が の両方に垂直という連立方程式を解く。(3) は の形を作り，平面 上にあり，かつ平面に垂直であることを確認して を示す。
解答
(1)
，， より である。
また，線分 と線分 が垂直であるから，方向ベクトル と は垂直である。したがって である。 なので となり， である。
(2)
は から平面 に下ろした垂線の足であるから， は平面 上にある。よって とおける。
また なので， は ， の両方に垂直である。したがって
である。内積の値を代入すると すなわち である。これを解くと である。よって である。
(3)
とおく。まずこの点が平面 上にあることを確認する。(2)より
であり，係数の和は である。したがって点 は平面 上にある。
次に が平面 に垂直であることを示す。平面 の方向ベクトルとして ， を用いればよい。
まず， は の平面 への正射影なので
である。よって である。
また
であり，，， だから
である。
したがって は平面 に垂直であり，この点は問題で定めた垂線の足 である。すると
である。よって と は平行である。