東北大学 2023年度理系数学第3問解答・解説

問題

$s$ を実数とし，数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = s, (n + 2) a_{n + 1} = n a_{n} + 2 (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) $a_{n}$ を $n$ と $s$ を用いて表せ。

(2) ある正の整数 $m$ に対して $n = 1 \sum m a_{n} = 0$ が成り立つとする。 $s$ を $m$ を用いて表せ。

出典：東北大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

漸化式には定数解 $a_{n} = 1$ があるので， $a_{n} - 1$ に注目する。すると $a_{n + 1} - 1 = n (a_{n} - 1) / (n + 2)$ となり，積が $2/ (n (n + 1))$ に簡約される。(2) は一般項を足し， $1/ (n (n + 1)) = 1/ n - 1/ (n + 1)$ の部分分数分解で和を消す。 $m$ は正の整数なので，最後に $m$ で割ってよい。

解答

(1)

与えられた漸化式は $(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n} + 2$ である。両辺から $n + 2$ を引くと $(n + 2) (a_{n + 1} - 1) = n (a_{n} - 1)$ となる。したがって $a_{n + 1} - 1 = \frac{n}{n + 2} (a_{n} - 1)$ である。

これを繰り返すと， $n ≧ 2$ について $a_{n} - 1 = \frac{1 \cdot 2 \dots ( n - 1 )}{3 \cdot 4 \dots ( n + 1 )} (s - 1)$ である。分子と分母を整理すると $\frac{1 \cdot 2 \dots ( n - 1 )}{3 \cdot 4 \dots ( n + 1 )} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ であるから， $n = 1$ の場合も含めて $a_{n} = 1 + \frac{2 ( s - 1 )}{n ( n + 1 )}$ である。

(2)

(1)より

n = 1 \sum m a_{n} = n = 1 \sum m {1 + \frac{2 ( s - 1 )}{n ( n + 1 )}} = m + 2 (s - 1) n = 1 \sum m \frac{1}{n ( n + 1 )}

である。ここで $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ だから $\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1 - \frac{1}{m + 1} = \frac{m}{m + 1}$ である。

したがって $\sum_{n = 1}^{m} a_{n} = 0$ は $0 = m + 2 (s - 1) \frac{m}{m + 1}$ と同値である。 $m$ は正の整数なので $m > 0$ であり，両辺を $m$ で割って $0 = 1 + \frac{2 ( s - 1 )}{m + 1}$ となる。よって $2 (s - 1) = - (m + 1)$ であり， $s = 1 - \frac{m + 1}{2} = \frac{1 - m}{2}$ である。

東北大学 2023年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2023年度
理系数学第3問