東北大学 2023年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ であるから $a^2+a=1$ が成り立つ。実際，$a^2=(3-\sqrt{5})/2$ である。

ここで $(x^2-ax+1)(x^2+(a+1)x+1)$ を展開すると，$x^4+x^3+(2-a^2-a)x^2+x+1$ である。$a^2+a=1$ より $2-a^2-a=1$ なので $(x^2-ax+1)(x^2+(a+1)x+1)=x^4+x^3+x^2+x+1$ である。したがって $x^4+x^3+x^2+x+1$ は $f(x)$ で割り切れる。

(2)

$f(x)=0$ の虚数解のうち虚部が正のものを $\alpha$ とする。(1)より ${\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1=0$ である。また $\alpha =1$ なら左辺は $5$ であり矛盾する。したがって $(\alpha -1)({\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1)={\alpha }^5-1=0$ より ${\alpha }^5=1,\alpha \ne 1$ である。

一方，$f(x)=x^2-ax+1$ の2つの解の積は1である。係数は実数なので2つの虚数解は共役であり，その積は $|\alpha {|}^2$ に等しい。よって $|\alpha |=1$ である。さらに $f(\alpha )=0$ を $\alpha$ で割ると $\alpha +{\alpha }^{-1}=a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\cos \frac{2\pi }{5}$ である。 $|\alpha |=1$ で虚部が正だから $\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$，$0<\theta <\pi$ と書ける。このとき $\alpha +{\alpha }^{-1}=2\cos \theta$ なので $\cos \theta =\cos \frac{2\pi }{5}$ である。$0<2\pi /5<\pi$ だから $\theta =\frac{2\pi }{5}$ である。したがって $\alpha =\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$ である。

(3)

${\alpha }^5=1$ であり，$2023$ を $5$ で割ると余りは $3$ である。よって ${\alpha }^{2023}+{\alpha }^{-2023}={\alpha }^3+{\alpha }^{-3}$ である。(2)の極形式から ${\alpha }^3+{\alpha }^{-3}=2\cos \frac{6\pi }{5}$ である。$\cos (6\pi /5)=-\cos (\pi /5)$，$2\cos (\pi /5)=(1+\sqrt{5})/2$ より ${\alpha }^{2023}+{\alpha }^{-2023}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。