東北大学 2020年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

正の整数 $m, n$ に対して実数 $A (m, n)$ を次の定積分で定める。

A (m, n) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin^{n} x d x

(1) 次の等式が成り立つことを示せ。

A (m, n) = A (n, m), A (m + 2, n) + A (m, n + 2) = A (m, n)

(2) $A (m, 1)$ を求めよ。

(3) 次の等式が成り立つことを示せ。

A (m, n + 2) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n)

(4) $m$ または $n$ が奇数ならば， $A (m, n)$ は有理数であることを示せ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

(1)は変数変換 $x \mapsto \frac{π}{2} - x$ と、 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ を使う。(2)は直接積分する。(3)は部分積分で $n$ を2だけ下げる漸化式を作り、(4)では奇数指数を $1$ まで落として有理数性を示す。

解答

(1)

変数変換 $u = \frac{π}{2} - x$ を用いると、 $cos x = sin u$ 、 $sin x = cos u$ であるから $A (m, n) = A (n, m)$ が成り立つ。また

A (m + 2, n) + A (m, n + 2) = \int_{0}^{π /2} cos^{m} x sin^{n} x (cos^{2} x + sin^{2} x) d x = A (m, n)

である。

(2)

$n = 1$ のとき $A (m, 1) = \int_{0}^{π /2} cos^{m} x sin x d x$ である。 $u = cos x$ とおくと $d u = - sin x d x$ で、積分区間は $x = 0$ で $u = 1$ 、 $x = \frac{π}{2}$ で $u = 0$ となる。よって $A (m, 1) = \int_{0}^{1} u^{m} d u = \frac{1}{m + 1}$ である。

(3)

$m, n$ を0以上の整数とする。 $d (cos^{m + 1} x) = - (m + 1) cos^{m} x sin x d x$ を用いると

A (m, n + 2) = \int_{0}^{π /2} cos^{m} x sin^{n + 1} x sin x d x = - \frac{1}{m + 1} \int_{0}^{π /2} sin^{n + 1} x d (cos^{m + 1} x) .

部分積分を行う。端点では $sin^{n + 1} x cos^{m + 1} x = 0$ となるので境界項は消える。したがって

A (m, n + 2) = \frac{n + 1}{m + 1} \int_{0}^{π /2} cos^{m + 2} x sin^{n} x d x = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n)

である。

(4)

$m, n$ の少なくとも一方が奇数であるとする。対称性 $A (m, n) = A (n, m)$ により、必要なら $m, n$ を入れ替えて $n$ が奇数であるとしてよい。 $n = 2 r + 1$ と書く。

(3)を繰り返し用いると

A (m, 2 r + 1) = \frac{2 r}{m + 1} A (m + 2, 2 r - 1) = \frac{2 r}{m + 1} \cdot \frac{2 r - 2}{m + 3} A (m + 4, 2 r - 3)

のように、 $n$ を2ずつ下げられる。最終的に $A (m, 2 r + 1) = R \cdot A (m + 2 r, 1)$ となる。ただし $R$ は整数の積と商からなる有理数である。

(2)より $A (m + 2 r, 1) = \frac{1}{m + 2 r + 1}$ は有理数であるから、 $A (m, n)$ も有理数である。

東北大学 2020年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 2020年度
理系数学前期第6問