東北大学 2020年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$A B = 1$ ， $A C = 1$ ， $B C = \frac{1}{2}$ である $△ A B C$ の頂点 $B$ から辺 $A C$ に下ろした垂線と辺 $A C$ との交点を $H$ とする。

(1) $∠ B A C$ を $θ$ と表すとき， $cos θ$ ， $sin θ$ の値を求めよ。

(2) 実数 $s$ は $0 < s < 1$ の範囲を動くとする。辺 $B H$ を $s : 1 - s$ に内分する点を $P$ とするとき， $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2}$ の最小値およびそのときの $s$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

余弦定理で頂角とその正弦を求め、座標を置いて点 $P$ を $s$ で表す。 $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2}$ は $s$ の二次式になるので、平方完成または頂点の公式で最小値を出す。

解答

(1)

$∠ B A C = A$ とおく。 $A B = A C = 1$ 、 $B C = \frac{1}{2}$ であるから、余弦定理より

cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 A B \cdot A C} = \frac{1 + 1 - \frac{1}{4}}{2} = \frac{7}{8}

である。したがって $sin A = 1 - cos^{2} A = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{8}$ となる。

(2)

座標を $A = (0, 0), C = (1, 0)$ と置く。(1)より $B = (\frac{7}{8}, \frac{15}{8})$ である。 $H$ は $B$ から $A C$ に下ろした垂線の足なので $H = (\frac{7}{8}, 0)$ である。

$P$ が $B H$ を $s : 1 - s$ に内分するということは、 $s = 0$ で $P = B$ 、 $s = 1$ で $P = H$ となる向きで $P = (\frac{7}{8}, \frac{( 1 - s ) 15}{8})$ と表せる。したがって

A P^{2} = (\frac{7}{8})^{2} + (\frac{( 1 - s ) 15}{8})^{2} = \frac{49 + 15 ( 1 - s ) ^{2}}{64},

$B P^{2} = (\frac{s 15}{8})^{2} = \frac{15 s ^{2}}{64},$

C P^{2} = (\frac{7}{8} - 1)^{2} + (\frac{( 1 - s ) 15}{8})^{2} = \frac{1 + 15 ( 1 - s ) ^{2}}{64}

である。よって

A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} = \frac{49 + 1 + 30 ( 1 - s ) ^{2} + 15 s ^{2}}{64} = \frac{5}{64} (9 s^{2} - 12 s + 16) .

この二次式は $9 s^{2} - 12 s + 16 = 9 (s - \frac{2}{3})^{2} + 12$ と平方完成できる。 $0 ≦ s ≦ 1$ の範囲に $s = \frac{2}{3}$ は含まれるので、最小値は $\frac{5}{64} \cdot 12 = \frac{15}{16}$ であり、そのとき $s = \frac{2}{3}$ である。

別解。

座標を置かずに、 $A P^{2} + C P^{2}$ を中点公式で処理してから $B P^{2}$ を足す方法もある。ただし本問では $H$ が $A C$ 上にあり、 $B H$ が鉛直になる座標設定を選ぶと、 $P$ の座標が一行で書けるため計算が最も短い。

東北大学 2020年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

別解。

東北大学 2020年度
理系数学前期第1問