東北大学 2020年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

実数 $t$ に対して複素数 $z = \frac{- 1}{t + i}$ を考える。ただし， $i$ は虚数単位とする。

(1) $z$ の実部と虚部をそれぞれ $t$ を用いて表せ。

(2) 絶対値 $z - \frac{i}{2}$ を求めよ。

(3) 実数 $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ の範囲を動くとき，点 $z$ はどのような図形を描くか，複素数平面上に図示せよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

複素数を実部・虚部に分け、 $t$ を消去して軌跡を円として求める。 $t$ の範囲が $- 1 ≦ t ≦ 1$ に限られているため、円全体ではなく対応する弧を端点と向きまで確認する。

解答

$z = - \frac{1}{t + i}$ である。分母を実数化すると $z = - \frac{t - i}{t ^{2} + 1} = \frac{- t}{t ^{2} + 1} + i \frac{1}{t ^{2} + 1}$ である。したがって

x = Re z = - \frac{t}{t ^{2} + 1}, y = Im z = \frac{1}{t ^{2} + 1}

とおける。

ここで

x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{t ^{2}}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} + (\frac{1}{t ^{2} + 1} - \frac{1}{2})^{2}

である。第2項を整理すると $(\frac{1 - t ^{2}}{2 ( t ^{2} + 1 )})^{2}$ だから

x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{4 t ^{2} + ( 1 - t ^{2} ) ^{2}}{4 ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}{4 ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{4}

となる。よって軌跡は中心 $(0, \frac{1}{2})$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円の一部である。

端点を調べると、

t = - 1 \Rightarrow z = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, t = 0 \Rightarrow z = i, t = 1 \Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

である。 $t$ が $- 1$ から $1$ まで動くと、点は右端 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ から上端 $(0, 1)$ を通り、左端 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ へ動く。

したがって求める軌跡は $x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}, y ≧ \frac{1}{2}$ の上半円弧で、両端を含む。

別解。

$z = - 1/ (t + i)$ から $1/ z = - (t + i)$ となるので、 $Im (1/ z) = - 1$ を満たす点の集合と見ることもできる。 $z = x + i y$ として $1/ z = (x - i y) / (x^{2} + y^{2})$ を代入すると $- \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} = - 1$ すなわち $x^{2} + y^{2} = y$ となり、同じ円が得られる。最後に $t$ の範囲で弧を制限する必要がある。

東北大学 2020年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

別解。

東北大学 2020年度
理系数学前期第5問