問題
白玉3個，赤玉2個の合計5個の玉が入った箱と硬貨がある。箱から無作為に玉を1個取り出し，硬貨を投げて表が出たら，その玉を手元に残し，裏が出たら箱に戻す試行を行う。試行後に箱の中の玉がなくなったら試行は停止する。また，最初手元に玉はないものとする。
(1) 2回の試行の結果，手元に白玉が2個ある確率を求めよ。
(2) 3回の試行の結果，手元の玉が白玉1個，赤玉1個の計2個となる確率を求めよ。
(3) を5以上の整数とし，ちょうど回目で試行が停止する確率を求めよ。
(4) (3)の確率が最大となるを求めよ。
方針
玉を手元に残すかどうかはコインの表だけで決まる。(1)(2)は「表が出た試行だけが非復元抽出として効く」と見る。(3)は箱が空になる時刻を「5回目の表が出る時刻」と読み替え、負の二項分布で処理する。
解答
(1)
2回の試行後に手元に白玉が2個あるためには、2回ともコインが表で、かつ取り出された2個がともに白玉でなければならない。表が出た玉は戻さないので、白玉を続けて2個取り出す確率は である。コインが2回とも表である確率はだから、求める確率は である。
(2)
3回の試行後に手元に白玉1個、赤玉1個があるには、3回のうちちょうど2回で表が出て、その2回で残された玉の色が白1個・赤1個であればよい。裏が出た試行で取り出した玉は箱に戻すので、残される2個の色は、元の箱から非復元で2個選ぶ場合と同じ分布になる。
3回中ちょうど2回表が出る確率は であり、残される2個が白1個・赤1個である確率は である。したがって となる。
(3)
箱が空になるのは、5個すべての玉が手元に残ったときである。玉が手元に残るのはコインが表のときだけなので、これは「回目の試行で5回目の表が出る」ことと同じである。したがって、最初の回で表がちょうど4回出て、回目が表であればよい。
よってに対し である。
(4)
(3)の式から
である。これは
となる。したがってはまで増加し、の後に減少する。最大となるは である。