東北大学 2020年度
後期・文系数学 後期 第3問

解答

円$C$は $x^2-2ax+y^2-4y+4=0$ であるから、平方完成して $(x-a{)}^2+(y-2{)}^2=a^2$ となる。したがって中心は$(a,2)$、半径は$|a|$である。ここで$a\ne 0$なので半径は正である。

(1)

直線$L,M$の交点を求める。連立方程式 $-4x+3y+a=0,3x+4y-7a=0$ を解くと $(x,y)=(a,a)$ である。この点が円$C$上にある条件は $(a-a{)}^2+(a-2{)}^2=a^2$ すなわち $(a-2{)}^2=a^2$ である。これより$-4a+4=0$、したがって $\boxed{a=1}$ を得る。

(2)

円$C$の中心$(a,2)$から直線$L:-4x+3y+a=0$までの距離は $\frac{|-4a+6+a|}{\sqrt{(-4{)}^2+3^2}}=\frac{3|2-a|}{5}$ である。円と直線が相異なる2点で交わる条件は、この距離が半径$|a|$より小さいことである。よって $\frac{3|2-a|}{5}<|a|$ すなわち $9(a-2{)}^2<25a^2$ である。整理すると $16a^2+36a-36>0,4a^2+9a-9>0$ であり、$4a^2+9a-9=(4a-3)(a+3)$ だから $\boxed{a<-3,a>\frac{3}{4}}$ となる。

(3)

同様に、中心$(a,2)$から直線$M:3x+4y-7a=0$までの距離は $\frac{|3a+8-7a|}{5}=\frac{4|2-a|}{5}$ である。したがって$M$が円$C$と2点で交わる条件は $\frac{4|2-a|}{5}<|a|,$ すなわち $16(a-2{)}^2<25a^2.$ これを整理すると $9a^2+64a-64=(a+8)(9a-8)>0$ より $a<-8,a>\frac{8}{9}$ である。また、$M$が接するのは $a=-8,a=\frac{8}{9}$ のときである。$L$が接するのは(2)の境界から $a=-3,a=\frac{3}{4}$ のときである。

交点集合の要素数が3になる場合を考える。まず$L$と$M$がともに割線で、2本の直線上の円との交点が1点だけ共有される場合がある。共有点は(1)で調べた$L\cap M$であり、それが円上にあるのは$a=1$のときである。実際$a=1$では$L,M$はともに割線なので、2点ずつの交点のうち1点を共有し、合計3点になる。

次に、片方が接線で片方が割線の場合を調べる。$M$が接線となる$a=-8,\frac{8}{9}$では、$L$はそれぞれ割線であるから、接点1個と$L$上の2個で合計3個になる。これに対し、$L$が接線となる$a=-3,\frac{3}{4}$では、$M$は割線ではないので合計3個にはならない。

よって求める値は $\boxed{a=-8,a=\frac{8}{9},a=1}$ である。

別解。

(2)は直線$L$を$y=\frac{4}{3}x-\frac{a}{3}$として円の式へ代入し、得られる$x$の二次方程式の判別式が正である条件を調べても同じ不等式$(4a-3)(a+3)>0$に帰着する。距離で判定する方法は、(3)で接線の場合も同時に管理できるため、集合の個数を数える本問では特に見通しがよい。