東北大学 2020年度文理共通数学前期第4問・後期第4問解答・解説

問題

6枚の硬貨を同時に投げて，表がでた硬貨が $s$ 枚，裏がでた硬貨が $t$ 枚であったとき，ベクトル $p = (x, y)$ を $p = s (2, - 1) + t (- 1, 2)$ で定める。

(1) $x + y$ の値を求めよ。

(2) $p = (0, 6)$ となる確率を求めよ。

(3) $p$ と $q = (3, 1)$ のなす角が $\frac{π}{6}$ 以下となる確率を求めよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験／後期日程第2次学力試験文系前期第4問／後期・文系後期第4問

方針

表の枚数を $s$ 、裏の枚数を $t$ とおくと $s + t = 6$ で、点 $p$ の座標は $s$ だけで表せる。角度条件は内積の不等式に直し、 $s = 0, 1, \dots, 6$ の有限個のうち条件を満たすものを判定する。

解答

表の枚数を $s$ 、裏の枚数を $t$ とする。6枚投げるので $s + t = 6$ である。点 $p$ は $p = s (2, - 1) + t (- 1, 2)$ で定まるから、 $t = 6 - s$ を代入すると $p = (2 s - (6 - s), - s + 2 (6 - s)) = (3 s - 6, 12 - 3 s)$ となる。

(1)

したがって $x + y = (3 s - 6) + (12 - 3 s) = 6$ であり、点 $p$ は直線 $x + y = 6$ 上にある。

(2)

$p = (0, 6)$ となるには $3 s - 6 = 0$ でなければならない。よって $s = 2$ である。6枚中ちょうど2枚が表である確率は $\frac{_{6} C _{2}}{2 ^{6}} = \frac{15}{64}$ である。

(3)

$q = (3, 1)$ とする。 $p$ と $q$ のなす角を $θ$ とすると、 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{6}$ である条件は $p \cdot q > 0, \frac{p \cdot q}{∣ p ∣∣ q ∣} ≧ \frac{3}{2}$ である。ここで $p = (3 (s - 2), 3 (4 - s))$ だから $p \cdot q = 3 (s - 2) \cdot 3 + 3 (4 - s) \cdot 1 = 6 (s - 1)$ であり、 $∣ p ∣^{2} = 9 {(s - 2)^{2} + (4 - s)^{2}} = 18 (s^{2} - 6 s + 10), ∣ q ∣^{2} = 10$ である。したがって $s ≧ 2$ で、さらに ${6 (s - 1)}^{2} ≧ \frac{3}{4} \cdot 18 (s^{2} - 6 s + 10) \cdot 10$ を満たせばよい。整理すると $4 (s - 1)^{2} ≧ 15 (s^{2} - 6 s + 10)$ である。

$s = 0, 1, \dots, 6$ について調べると、この不等式を満たすのは $s = 3, 4$ のみである。よって求める確率は $\frac{_{6} C _{3} + _{6} C _{4}}{2 ^{6}} = \frac{20 + 15}{64} = \frac{35}{64}$ である。

東北大学 2020年度文理共通数学 前期 第4問・後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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文理共通数学前期第4問・後期第4問