東北大学 2020年度
文理共通数学 前期 第1問・後期 第1問

解答

$-2\leqq x\leqq a$では$x-a\leqq 0$、$x+2\geqq 0$であるから $(x-a)(x+2)\leqq 0$ である。また、$a\leqq x\leqq 3$では$x-a\geqq 0$、$x-3\leqq 0$であるから $2(x-a)(x-3)\leqq 0$ である。したがって、$x$軸とグラフで囲まれる面積は $S(a)=-{\int }_{-2}^a(x-a)(x+2)dx-{\int }_a^{3}2(x-a)(x-3)dx$ と書ける。

まず $-{\int }_{-2}^a(x-a)(x+2)dx=\frac{(a+2{)}^3}{6}$ である。これは$u=x+2$とおくと$x-a=u-(a+2)$となり、$-{\int }_0^{a+2}\{u^2-(a+2)u\}du=\frac{(a+2{)}^3}{6}$ と計算できる。同様に$v=3-x$とおくと $-{\int }_a^{3}2(x-a)(x-3)dx=\frac{(3-a{)}^3}{3}$ である。よって $S(a)=\frac{(a+2{)}^3}{6}+\frac{(3-a{)}^3}{3}$ を得る。

微分すると $S^{\prime }(a)=\frac{(a+2{)}^2}{2}-(3-a{)}^2$ である。$-2\leqq a\leqq 3$では$a+2\geqq 0$、$3-a\geqq 0$だから、$S^{\prime }(a)=0$は $a+2=\sqrt{2}(3-a)$ と同値である。したがって $a=\frac{3\sqrt{2}-2}{1+\sqrt{2}}=8-5\sqrt{2}$ である。

$a=-2$のとき $S(-2)=\frac{5^3}{3}=\frac{125}{3},$ $a=3$のとき $S(3)=\frac{5^3}{6}=\frac{125}{6}$ である。また、$a=8-5\sqrt{2}$のときは $a+2=5(2-\sqrt{2}),3-a=5(\sqrt{2}-1)$ だから $S(8-5\sqrt{2})=\frac{125}{3}(3-2\sqrt{2})$ となる。導関数はこの点の前で負、後で正となるので、ここで最小値をとる。

以上より、最大値は $\boxed{\frac{125}{3}}(a=-2)$ 最小値は $\boxed{\frac{125}{3}(3-2\sqrt{2})}(a=8-5\sqrt{2})$ である。

別解。

$u=a+2$、$v=3-a$とおくと$u,v\geqq 0$かつ$u+v=5$であり、$S=\frac{u^3}{6}+\frac{v^3}{3}$ となる。$v=5-u$として一変数で微分しても同じ条件$u=\sqrt{2}v$が得られる。左右の面積を区間長の三乗として捉えると、式の意味が見えやすい。