東北大学 2020年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$n$ を正の整数， $a$ ， $b$ を0以上の整数とする。

(1) $n ≧ 3$ のとき不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つことを示せ。

(2) 不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 ≧ 3^{n}$ を満たす $n$ をすべて求めよ。

(3) 等式 $2^{n} + n^{2} + 8 = 3^{n} + an + b$ を満たす $a$ ， $b$ ， $n$ の組 $(a, b, n)$ をすべて求めよ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

(1)は $n = 3$ を基点に、 $3$ 倍した仮定と次の左辺との差を直接評価する。指数不等式が $n ≧ 3$ で完全に決まれば、(2)は $n = 1, 2$ の確認に帰着する。(3)は右辺の $an + b$ が0以上であることから、(2)で残った $n$ だけを調べ、一次不定方程式を非負整数条件で列挙する。

解答

(1)

$n = 3$ のとき $2^{3} + 3^{2} + 8 = 25 < 27 = 3^{3}$ である。ある $n ≧ 3$ で $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つと仮定する。このとき

3^{n + 1} - {2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8} > 3 (2^{n} + n^{2} + 8) - 2^{n + 1} - (n + 1)^{2} - 8 = 2^{n} + 2 n^{2} - 2 n + 15.

ここで $n ≧ 3$ より $2^{n} > 0$ かつ $2 n^{2} - 2 n = 2 n (n - 1) > 0$ であるから、最後の式は正である。したがって $2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8 < 3^{n + 1}$ が従う。数学的帰納法により、すべての $n ≧ 3$ で不等式は成り立つ。

(2)

$n = 1$ では $2^{1} + 1^{2} + 8 = 11 ≧ 3$ であり、 $n = 2$ では $2^{2} + 2^{2} + 8 = 16 ≧ 9$ である。一方、(1)より $n ≧ 3$ では $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ となるので、求める $n$ は $n = 1, 2$ である。

(3)

与えられた等式は $an + b = 2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n}$ と書ける。 $a, b$ は0以上の整数だから左辺は0以上であり、右辺も0以上でなければならない。よって(2)により $n = 1, 2$ だけを調べればよい。

$n = 1$ のとき $a + b = 2 + 1 + 8 - 3 = 8$ である。したがって $(a, b, n) = (j, 8 - j, 1) (j = 0, 1, 2, \dots, 8)$ を得る。

$n = 2$ のとき $2 a + b = 4 + 4 + 8 - 9 = 7$ である。 $a, b$ が0以上の整数であるから、 $a = 0, 1, 2, 3$ に限られ、 $(a, b, n) = (0, 7, 2), (1, 5, 2), (2, 3, 2), (3, 1, 2)$ となる。

以上より、求める組は

(a, b, n) = (j, 8 - j, 1) (j = 0, 1, \dots, 8), (0, 7, 2), (1, 5, 2), (2, 3, 2), (3, 1, 2)

である。

別解。

(1)は差 $d_{n} = 3^{n} - 2^{n} - n^{2} - 8$ を用いてもよい。 $d_{3} = 2 > 0$ であり、 $n ≧ 3$ では $d_{n + 1} - d_{n} = 2 \cdot 3^{n} - 2^{n} - 2 n - 1 > 0$ となる。実際、 $E_{n} = 2 \cdot 3^{n} - 2^{n} - 2 n - 1$ とおくと、 $E_{3} = 39 > 0$ であり、 $E_{n + 1} - E_{n} = 4 \cdot 3^{n} - 2^{n} - 2 > 0$ である。よって $E_{n} > 0$ となり、 $d_{n}$ は正のまま増加する。この見方でも $n ≧ 3$ で右辺 $3^{n}$ が左辺を上回ることが分かり、以後は同じく $n = 1, 2$ のみを調べればよい。

東北大学 2020年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

別解。

東北大学 2020年度
後期・文系数学後期第2問