東北大学 2019年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

複素数平面上の互いに異なる4点 $A (z_{1})$ ， $B (w_{1})$ ， $C (z_{2})$ ， $D (w_{2})$ を考える。

(1) 次の等式が成立することを示せ。

∣ z_{1} w_{1} + z_{2} w_{2} ∣^{2} = (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2}) (∣ w_{1} ∣^{2} + ∣ w_{2} ∣^{2}) - ∣ z_{1} \overline{w_{2}} - z_{2} \overline{w_{1}} ∣^{2}

(2) 2つの等式

∣ z_{1} w_{1} + z_{2} w_{2} ∣^{2} = (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2}) (∣ w_{1} ∣^{2} + ∣ w_{2} ∣^{2}) \dots\dots (*)

∣ z_{1} ∣ = ∣ w_{1} ∣ \dots\dots (**)

が成り立つとき，2つの直線 $A B$ と $C D$ は平行であることを示せ。

(3) 2つの等式(*)，(**)が成り立ち，4点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ が同一直線上にないならば，これらの4点はある直線に関して対称な四角形の頂点となることを示せ。

出典：東北大学 2019年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

(1)は両辺を展開して、差として現れる項が打ち消されることを確認する。(2)では(1)から、等号 (*) が成り立つ条件は $z_{1} \overline{w_{2}} - z_{2} \overline{w_{1}} = 0$ であると分かる。図形全体を回転して $w_{1}$ を正の実数にし、 $∣ z_{1} ∣ = ∣ w_{1} ∣$ から $z_{1} = w_{1} e^{i θ}$ と置くと、等号条件から $z_{2} = e^{i θ} \overline{w_{2}}$ が得られる。これは同じ直線に関する反射を表すので、平行性と対称性が読める。

解答

(1)

右辺の最後の項を展開する。

∣ z_{1} \overline{w_{2}} - z_{2} \overline{w_{1}} ∣^{2} = (z_{1} \overline{w_{2}} - z_{2} \overline{w_{1}}) (\overline{z_{1}} w_{2} - \overline{z_{2}} w_{1}) = ∣ z_{1} ∣^{2} ∣ w_{2} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} ∣ w_{1} ∣^{2} - z_{1} \overline{z_{2}} \overline{w_{2}} w_{1} - \overline{z_{1}} z_{2} w_{2} \overline{w_{1}}

である。したがって

(∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2}) (∣ w_{1} ∣^{2} + ∣ w_{2} ∣^{2}) - ∣ z_{1} \overline{w_{2}} - z_{2} \overline{w_{1}} ∣^{2} = ∣ z_{1} ∣^{2} ∣ w_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} ∣ w_{2} ∣^{2} + z_{1} w_{1} \overline{z_{2} w_{2}} + \overline{z_{1} w_{1}} z_{2} w_{2} = ∣ z_{1} w_{1} + z_{2} w_{2} ∣^{2}

である。よって示す等式が成り立つ。

(2)

(1)より、等式 (*) が成り立つことは $∣ z_{1} \overline{w_{2}} - z_{2} \overline{w_{1}} ∣^{2} = 0$ すなわち $z_{1} \overline{w_{2}} = z_{2} \overline{w_{1}}$ と同値である。

図形全体を原点のまわりに回転しても、平行性や対称性は変わらない。そこで $w_{1}$ を正の実数としてよい。 $∣ z_{1} ∣ = ∣ w_{1} ∣$ より、ある実数 $θ$ を用いて $z_{1} = w_{1} e^{i θ}$ と書ける。4点は互いに異なるので $z_{1} \neq = w_{1}$ であり、 $e^{i θ} \neq = 1$ としてよい。等号条件から $z_{2} = e^{i θ} \overline{w_{2}}$ である。

直線 $A B$ の方向を表す複素数は $w_{1} - z_{1} = w_{1} (1 - e^{i θ})$ である。一方、 $w_{2} = ρ e^{i ϕ}$ と書けば

w_{2} - z_{2} = ρ e^{i ϕ} - ρ e^{i (θ - ϕ)} = 2 i ρ e^{i θ /2} sin (ϕ - \frac{θ}{2})

であり、 $w_{1} - z_{1} = - 2 i w_{1} e^{i θ /2} sin \frac{θ}{2}$ である。したがって $w_{2} - z_{2}$ と $w_{1} - z_{1}$ の比は実数である。よって2つの直線 $A B$ と $C D$ は平行である。

(3)

(2)と同じ表示を用いる。直線 $ar g z = \frac{θ}{2}$ を考える。この直線に関する反射は、複素数 $z$ を $z \mapsto e^{i θ} \overline{z}$ へ移す操作である。 $w_{1}$ は正の実数であり、 $z_{1} = e^{i θ} \overline{w_{1}}$ であるから、点Aと点Bはこの直線に関して対称である。また $z_{2} = e^{i θ} \overline{w_{2}}$ であるから、点Cと点Dも同じ直線に関して対称である。

4点が同一直線上にないなら、これら4点は退化せず、2組の対称な点の組として1つの四角形の頂点になる。したがって、4点 $A, B, C, D$ はある直線に関して対称な四角形の頂点となる。

東北大学 2019年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2019年度
後期・理系数学後期第6問