問題
平面において，放物線の2つの接線，が点において直交するとする。ただし，の傾きはの傾きより大きいとする。
(1) 点の座標をとするとき，接線，の傾きをそれぞれ求めよ。
(2) 放物線と接線，の接点をそれぞれ，とし，接線，と軸の交点をそれぞれ，とする。また，原点をとする。2つの線分，と放物線で囲まれる図形の面積をとし，2つの線分，と放物線で囲まれる図形の面積をとする。面積の和が最小となるときの点の座標との最小値を求めよ。
出典：東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
(1)は後期文系第2問と同じく、接点の 座標を として接線を表す。(2)では、接点 の接線と 軸、原点、放物線で囲まれる面積を と求める。直交条件から なので、 として に置き換え、 の最小値を調べる。
解答
(1)
放物線 の における接線は である。2つの接点の 座標を とすると、直交条件から であり、2接線の交点の 座標 は である。したがって は の2解であり、 である。傾きは で、 の傾きが の傾きより大きいので の傾きはそれぞれ である。
(2)
接点の 座標を とする。接線は であり、 軸との交点は である。この接線、 軸、放物線で囲まれる面積を求めると、 の場合は
である。 の場合も左右が反転するだけなので、面積は である。
2つの接点について、 であるから一方は負、一方は正である。 とおくと であり、 である。相加平均・相乗平均より であり、等号は のときである。したがって最小値は である。
このとき 、 なので であり、交点 の 座標は である。よって である。