問題
1枚のコインを投げる試行を繰り返し，数列 を次のように定める。
(i) 1回目の試行において表が出たとき，とする。
(ii) 1回目の試行において裏が出たとき，とする。
(iii) について，回目の試行において表が出たとき，とする。
(iv) について，回目の試行において裏が出たとき，とする。
以下の問いに答えよ。
(1) がを3で割った商に等しくなったとき，1回目から10回目の試行におけるコインの表裏の出方を求めよ。
(2) 1回目から100回目の試行においてコインの表がちょうど4回出たとき，がより小さくなる条件付き確率を求めよ。
方針
は、裏が出た回に対応する2進法の桁を1にした数である。(1)は を3で割った商を2進法で表せば、裏が出た回が読める。(2)は表が出た回の集合 を用いて、 と表す。条件 は高位4桁の選び方の不等式になり、最大桁から順に必要条件を詰めて数える。
解答
(1)
は、裏が出た回に対応する を足した数である。 であり、これを3で割った商は である。これを2の累乗の和で表すと である。
したがって、裏が出たのは 回目であり、表が出たのは 回目である。よって出方は、1回目から順に「裏、表、裏、表、裏、表、裏、表、裏、表」である。
(2)
1回目から100回目のうち、表が出た回の集合を とする。表はちょうど4回なので、 は の4個の元からなる部分集合である。裏が出た回の桁が1になるので である。 なので は整数である。 は、 が整数であることから と同値である。したがって である。右辺は である。
ここで指数で数えるため、 とおく。 は から4個選ぶ集合である。条件は である。
まず が必要である。もし最大指数が98以下なら、最大でも となり、右辺に届かないからである。 とする。さらに なら、残り2個の指数は から97までの中から自由に選べる。これは 通りである。
次に とする。このとき が必要である。もし最大が96以下なら、残り3個の和は右辺の に届かないからである。、 のもとで、残り2個を選ぶ。 なら、もう1個は から95まで自由に選べるので96通りである。 の場合は、 と をともに選ぶ場合だけが条件を満たす。実際、 は残りの必要量 以上であり、 より小さい指数では足りない。
したがって条件を満たす表の出方は 通りである。表がちょうど4回出る出方は全体で 通りで、どれも同様に確からしい。よって条件付き確率は である。