東北大学 2019年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ は連続な第2次導関数 $f^{''} (x)$ をもち，すべての実数 $x$ に対して $f^{''} (x)$ の値が正であるとする。

(1) 異なる2つの実数 $x$ ， $y$ に対して，次の関数を考える。

p (t) = (1 - t) f (x) + t f (y) - f ((1 - t) x + t y) (t は実数) \dots\dots (*)

このとき

p^{'} (0) > 0, p^{'} (1) < 0

が成り立つことを示せ。

(2) $0 < t < 1$ を満たす実数 $t$ に対して，(*)で与えた関数 $p (t)$ の値が正であることを示せ。

(3) $a < b < c < d$ を満たす実数 $a, b, c, d$ に対して，次の不等式が成り立つことを示せ。

f (d - a) + f (c - b) > f (d - b) + f (c - a)

出典：東北大学 2019年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

$f^{''} (x) > 0$ から $f^{'} (x)$ が狭義単調増加であることを使う。(1)は $p^{'} (t)$ を計算し、平均値の定理で $f (y) - f (x) = (y - x) f^{'} (ξ)$ と書いて端点での符号を判定する。(2)は $p^{''} (t) < 0$ から $p$ のグラフが上に凸で、端点 $p (0) = p (1) = 0$ を結ぶ弦より上にあることを用いる。(3)は差分 $F (u) = f (u + δ) - f (u)$ を作り、 $F$ が増加することに帰着する。

解答

(1)

$p (t) = (1 - t) f (x) + t f (y) - f ((1 - t) x + t y)$ である。微分すると $p^{'} (t) = f (y) - f (x) - (y - x) f^{'} ((1 - t) x + t y)$ である。

平均値の定理より、 $x$ と $y$ の間にある実数 $ξ$ が存在して $f (y) - f (x) = (y - x) f^{'} (ξ)$ と書ける。また $f^{''} (x) > 0$ より $f^{'} (x)$ は狭義単調増加である。

まず $x < y$ とする。このとき $x < ξ < y$ なので $p^{'} (0) = (y - x) {f^{'} (ξ) - f^{'} (x)} > 0$ であり、 $p^{'} (1) = (y - x) {f^{'} (ξ) - f^{'} (y)} < 0$ である。 $y < x$ の場合も、 $y - x < 0$ であることと $y < ξ < x$ を用いれば同じく $p^{'} (0) > 0, p^{'} (1) < 0$ が得られる。

(2)

さらに微分すると $p^{''} (t) = - (y - x)^{2} f^{''} ((1 - t) x + t y) < 0$ である。したがって $p (t)$ のグラフは上に凸である。また $p (0) = 0, p (1) = 0$ である。上に凸で直線ではないグラフは、端点を結ぶ線分よりも内部で上にある。端点を結ぶ線分は $y = 0$ であるから、 $0 < t < 1$ では $p (t) > 0$ である。

(3)

$δ = b - a > 0$ とおき、 $F (u) = f (u + δ) - f (u)$ を考える。微分すると $F^{'} (u) = f^{'} (u + δ) - f^{'} (u)$ である。 $f^{'}$ は狭義単調増加で、 $u + δ > u$ だから $F^{'} (u) > 0$ である。したがって $F (u)$ は狭義単調増加である。 $a < b < c < d$ より $d - b > c - b$ である。よって $F (d - b) > F (c - b)$ である。これを展開すると $f (d - a) - f (d - b) > f (c - a) - f (c - b)$ であり、移項して $f (d - a) + f (c - b) > f (d - b) + f (c - a)$ を得る。

東北大学 2019年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2019年度
後期・理系数学後期第4問