問題
正の整数の組が次の式を満たすとする。
(1) ，，のうち少なくとも一つは偶数であることを示せ。
(2) ，，のうちに素数ではないものがあることを示せ。
出典：東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
(1)は平方数を4で割った余りを見る。奇数の平方は1、偶数の平方は0なので、3つとも奇数と仮定すると左辺が2、右辺が1になって矛盾する。(2)は全て素数と仮定する背理法を用いる。(1)より偶数のものがあり、偶数の素数は2だけである。 は大きさで不可能なので、 または が2となり、差の平方の因数分解で矛盾を出す。
解答
(1)
背理法で示す。もし がすべて奇数であると仮定すると、奇数の平方は4で割って1余るので である。したがって である一方、 である。これは に反する。よって のうち少なくとも一つは偶数である。
(2)
がすべて素数であると仮定する。(1)より少なくとも一つは偶数である。偶数の素数は2だけである。
まず は不可能である。なぜなら は正の素数なので 、 であり、 となるからである。
したがって または である。対称性により としてよい。このとき なので である。よって となる。ここで は2でない素数なので奇数であり、 と はともに正の偶数である。しかし正の偶数2つの積が4になるには両方2でなければならず、そうすると となって矛盾する。
よって、 がすべて素数であることは不可能である。したがって のうちに素数ではないものがある。