問題
平面において，，がともに整数であるとき，点を格子点とよぶ。を1以上の整数とするとき，放物線と軸および軸によって囲まれた図形をとする。
(1) の周上の格子点の数をで表せ。
(2) の周上および内部の格子点の数をで表せ。
(3) の最大値とそのときのの値を求めよ。
出典：東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
領域 は 、 と表せる。周上の格子点は、 軸、 軸、放物線上の格子点をそれぞれ数え、3つの頂点の重複を引く。内部込みの格子点は、整数 ごとに縦方向の格子点数 を足す。(3)は得られた式を の2次式に整理し、正の整数 での最大を調べる。
解答
(1)
放物線は である。 軸との交点は 、 軸との交点は である。したがって は で表される領域である。
周上の格子点を数える。 軸上には の 個がある。 軸上には の 個がある。放物線上には、整数 に対して が格子点になるので、 個がある。
ただし、3つの境界の交点 を重複して数えているので、それぞれ1回ずつ余分に引く。よって である。
(2)
整数 を固定する。 のとき、 内の格子点の 座標は を取り、個数は である。したがって である。 とおくと である。よって である。
(3)
(1)、(2)より
である。これは について上に凸ならぬ下に開く2次式であり、平方完成すると である。 は正の整数なので、最大は に最も近い で起こる。その値は である。したがって最大値は で、そのとき である。