問題
実数はを満たすとする。以下の方法で数列，を定める。
●
● のとき，の方程式
の相異なる実数解の個数を，相異なる虚数解の個数をとする。
(1) のとき，，，，を求めよ。
(2) ，の一般項を求めよ。
出典：東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
で とおくと、 の根の符号で の実数解・虚数解の個数が決まる。 の場合は最初の遷移で となり、その後固定される。 の場合は重解や負の根が現れ、 の周期3になる。
解答
(1)
とおく。初期値は なので、最初に考える方程式は である。これは に対応する。 のとき、この2次方程式の解は である。ここで なので、2つの解は相異なる正の数である。したがって の実数解は4個、虚数解は0個であり、 である。
次に を考える。 とすると であり、解は である。 ではこの2解も相異なる正の数である。よって である。
(2)
まず の場合を考える。(1)で となり、さらに であることを示した。同じ判定が繰り返されるので、以後も が続く。したがって初期値とそれ以後は、、 で である。である。
次に の場合を考える。初回は であり、 の重解をもつ。したがって の2つの実数解だけをもち、 である。次は であり、 は実数解をもたない。もとの4次方程式は相異なる虚数解を4個もつので である。さらに次は すなわち である。 から実数解 、 から虚数解 が出るので である。これは初期状態に戻ったので、以後は周期3で繰り返す。
したがって のとき
である。