問題
片面が黒，もう片面が白の正方形の板が9枚ある。これらを，横3列，縦3列に，すべて黒が表になるように並べる。さいころの出た目に従って，以下のように，ある1列をすべてひっくり返す（すなわち，白になっているものは黒に，黒になっているものは白にする）。
● 1が出れば上の横の列にある板をすべてひっくり返す。
● 2が出れば中央の横の列にある板をすべてひっくり返す。
● 3が出れば下の横の列にある板をすべてひっくり返す。
● 4が出れば左の縦の列にある板をすべてひっくり返す。
● 5が出れば中央の縦の列にある板をすべてひっくり返す。
● 6が出れば右の縦の列にある板をすべてひっくり返す。
たとえば，さいころを2回振って最初に1，次に4が出たとき，板は次のようになる。
% 図は省略
(1) さいころを2回振ったときに，すべての板が黒になっている確率を求めよ。
(2) さいころを3回振ったときに，すべての板が白になっている確率を求めよ。
(3) さいころを3回振ったときに，下の図のようになっている確率を求めよ。
% 図は省略
方針
盤面は各横列3本・縦列3本がそれぞれ何回選ばれたかの偶奇だけで決まる。(1)で全て黒に戻るには、2回の操作の偶奇が全て偶数になる必要があるので同じ列を2回選ぶ。(2)で全て白にするには、各マスが奇数回反転される必要があり、3回では横3列を1回ずつ選ぶか、縦3列を1回ずつ選ぶしかない。(3)は与えられた図の白黒に対応する偶奇パターンを2通りに分け、順序つきの出方を数える。
解答
(1)
各板の色は、反転された回数の偶奇だけで決まる。最初はすべて黒なので、2回後にすべて黒であるためには、すべての板が偶数回反転されなければならない。
2回の操作でこれが起こるのは、同じ横列または同じ縦列を2回選ぶ場合だけである。選ぶ列は6通りあるので、有利な出方は6通りである。全事象は 通りだから である。
(2)
3回後にすべて白であるには、9枚すべてが奇数回反転される必要がある。3回の操作でこれを実現するには、横3列をそれぞれ1回ずつ選ぶか、縦3列をそれぞれ1回ずつ選ぶしかない。
横3列を1回ずつ選ぶ順序は 通り、縦3列を1回ずつ選ぶ順序も 通りである。したがって有利な出方は 通りである。全事象は 通りだから である。
(3)
図の盤面は、列の選択回数の偶奇で見ると次の2通りで実現できる。1つは、中央の横列と左右の縦列を奇数回選び、他の列を偶数回選ぶ場合である。もう1つは、上下の横列と中央の縦列を奇数回選び、他の列を偶数回選ぶ場合である。
3回の操作で奇数回選ばれる列が3本あるなら、その3本をそれぞれ1回ずつ選ぶしかない。したがって各場合の出方は 通りである。2つの場合は異なる列集合を選んでいるので重ならない。
よって有利な出方は 通りであり、求める確率は である。