東北大学 2015年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

$2n\pi \leqq x\leqq (2n+1)\pi$ では $\sin x\geqq 0$ である。また $a>0$ なので $x^{-a}$ は単調減少し、$\frac{1}{\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq \frac{1}{x^a}\leqq \frac{1}{(2n\pi {)}^a}$ である。したがって

である。これを積分し、${\int }_{2n\pi }^{(2n+1)\pi }\sin xdx=2$ を用いると $\boxed{\frac{2}{\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq B_n\leqq \frac{2}{(2n\pi {)}^a}}$ を得る。

(2)

三角形の底辺の長さは $\pi$、高さは $\frac{1}{\{(2n+\frac{1}{2})\pi {\}}^a}$ であるから $A_n=\frac{\pi }{2\{(2n+\frac{1}{2})\pi {\}}^a}$ である。(1)より

である。すなわち

である。両端はともに $\pi /4$ に収束するので、はさみうちにより $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{A_n}{B_n}=\frac{\pi }{4}}$ である。

(3)

同じ区間で ${\sin }^{2}x\geqq 0$ であり、${\int }_{2n\pi }^{(2n+1)\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$ である。したがって $\frac{\pi }{2\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq C_n\leqq \frac{\pi }{2(2n\pi {)}^a}$ である。これと $A_n=\pi /(2\{(2n+1/2)\pi {\}}^a)$ を用いると

となる。両端はともに1に収束するので $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{A_n}{C_n}=1}$ である。