東北大学 2015年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

判別式は $D=p_2^2-16p_1{p}_3$ である。実数解をもつ条件は $D\geqq 0$ である。$p_2\leqq 6$ より $p_2^2\leqq 36$ なので、$D\geqq 0$ となるには $p_1{p}_3\leqq 2$ が必要である。

$(p_1,p_3)=(1,1)$ のときは $p_2=4,5,6$ の3通り、$(p_1,p_3)=(1,2),(2,1)$ のときはそれぞれ $p_2=6$ の1通りである。したがって実数解をもつ出方は $3+1+1=5$ 通りであり、確率は $\boxed{\frac{5}{216}}$ である。

(2)

解と係数の関係より $\alpha \beta =\frac{2p_3}{2p_1}=\frac{p_3}{p_1}$ である。したがって $\alpha \beta =1$ は $p_1=p_3$ と同値である。

$p_1=p_3=1$ では、非実数解をもつ条件 $D<0$ は $p_2=1,2,3$ の3通りである。$p_1=p_3=2,3,4,5,6$ では、どの $p_2$ に対しても $p_2^2<16p_1{p}_3$ となるので、それぞれ6通りである。よって有利な出方は $3+5\cdot 6=33$ 通りであり、確率は $\boxed{\frac{33}{216}=\frac{11}{72}}$ である。

(3)

$\alpha \beta <1$ は $\frac{p_3}{p_1}<1$ すなわち $p_3<p_1$ と同値である。$p_3<p_1$ を満たす $(p_1,p_3)$ は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、それぞれ $p_2$ は6通りなので、まず $90$ 通りある。

このうち実数解をもつものを除く。$p_3<p_1$ かつ $D\geqq 0$ となるのは、(1)で数えたもののうち $(p_1,p_3)=(2,1),p_2=6$ の1通りだけである。したがって、$p_3<p_1$ かつ非実数解をもつ出方は $90-1=89$ 通りである。よって求める確率は $\boxed{\frac{89}{216}}$ である。