問題
平面において、次の式が表す曲線をとする。
を上の点とする。でに接する直線をとし、を通りと垂直な直線をとして、軸と軸とで囲まれてできる三角形の面積をとする。が上の点全体を動くとき、の最大値とそのときのの座標を求めよ。
出典：東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
楕円上の点を と置く。接線の傾きは陰関数微分で求め、法線 の傾きを出す。 の 切片と 切片を求めると、座標軸と作る三角形の面積が に比例するので、最大は で決まる。
解答
楕円 の第1象限部分なので、
とおける。
陰関数微分により だから、 における接線 の傾きは である。したがって法線 の傾きは である。よって の方程式は である。
軸との交点を求めるため とすると である。 なので割って となり、 切片は である。
次に 軸との交点を求めるため とすると だから、 切片は である。三角形の面積は切片の絶対値を用いて
である。 では なので、 は 、すなわち のとき最大となる。
したがって最大値は であり、そのとき である。
別解。法線を直接求めず、接線の法線方向ベクトルを使ってもよい。楕円 の法線方向は なので、 では 方向の直線を考えればよく、同じ切片計算に帰着する。