東北大学 2015年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1)

点 $P$ を $P=(u,v)$ とおく。$P\in D$ であるから $u^3-u>v>-u$ であり、特に $u>0,u+v>0,v-u^3+u<0$ である。

曲線 $C:y=x^3-x$ の $x=t$ における接線を求める。導関数は $3x^2-1$ なので、接線は $y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t)$ すなわち $y=(3t^2-1)x-2t^3$ である。この接線が $P=(u,v)$ を通る条件は $v=(3t^2-1)u-2t^3$ であり、整理して $F(t)=2t^3-3u{t}^2+u+v=0$ である。

この3次方程式の実根の個数を調べる。まず ${\lim }_{t\to -\infty }F(t)=-\infty ,F(0)=u+v>0$ だから、$(-\infty ,0)$ に少なくとも1つの根がある。また $F(u)=2u^3-3u^3+u+v=v-u^3+u<0$ であるから、$(0,u)$ に少なくとも1つの根がある。さらに ${\lim }_{t\to \infty }F(t)=\infty$ なので、$(u,\infty )$ に少なくとも1つの根がある。

3次方程式の根は高々3個であり、上の3つの区間は互いに交わらない。したがって実根はちょうど3個あり、それぞれ異なる。各根は $P$ を通る $C$ の接線の接点に対応するので、$P$ を通り $C$ に接する直線は3本存在する。

(2)

3つの接点の $x$ 座標を $t_1,t_2,t_3$ とする。方程式 $2t^3-3u{t}^2+u+v=0$ の根と係数の関係より $t_1+t_2+t_3=\frac{3u}{2},t_1{t}_2+t_2{t}_3+t_3{t}_1=0$ である。

接線の傾きは $3t_i^2-1$ である。傾きの和が0である条件は $(3t_1^2-1)+(3t_2^2-1)+(3t_3^2-1)=0$ すなわち $t_1^2+t_2^2+t_3^2=1$ である。一方、

だから ${\left(\frac{3u}{2}\right)}^2=1$ である。$u>0$ より $u=\frac{2}{3}$ である。

また、傾きの積が0であるから、ある $i$ について $3t_i^2-1=0$ である。よって、その根を $r$ とおくと $r=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。$u=2/3$ のとき、根の和は1、2根ずつの積の和は0である。根の1つが $r$ なら、3根の積は $r(r^2-r)=r^3-r^2$ である。一方、根と係数の関係より $t_1{t}_2{t}_3=-\frac{u+v}{2}=-\frac{2/3+v}{2}$ である。したがって $v=-2(r^3-r^2)-\frac{2}{3}$ である。

$r=1/\sqrt{3}$ のとき $v=-\frac{2}{3\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ である。これは $-\frac{2}{3}<v<-\frac{10}{27}=u^3-u$ を満たすので $P\in D$ である。

$r=-1/\sqrt{3}$ のとき $v=\frac{2\sqrt{3}}{9}$ となるが、これは $v<u^3-u=-10/27$ を満たさない。よって不適である。

以上より求める点は $\boxed{P=\left(\frac{2}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)}$ である。