東北大学 2014年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数， $a$ を正の定数として，

f (x) = (n + 1) {lo g (a + x) - lo g (n + 1)} - n (lo g a - lo g n) - lo g x

とおく。 $x > 0$ における関数 $f (x)$ の極値を求めよ。ただし，対数は自然対数とする。

(2) $n$ が2以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ。

\frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k + 1}{k} > (n + 1)^{\frac{1}{n}}

出典：東北大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

(1) は $f^{'} (x)$ を計算し、分母が正であることから符号が $n x - a$ で決まることを見る。 $x = a / n$ で減少から増加へ変わり、値を代入すると0になる。(2) は、正の数 $2/1, 3/2, \dots, (n + 1) / n$ に相加平均・相乗平均の関係を適用する。 $n ≧ 2$ ではこれらの数がすべて等しくないため、等号ではなく厳密な不等号になる。積は中間項が約分されて $n + 1$ になる。

解答

(1)

$f (x) = (n + 1) {lo g (a + x) - lo g (n + 1)} - n (lo g a - lo g n) - lo g x$ である。 $x > 0$ 、 $a > 0$ で微分すると

f^{'} (x) = \frac{n + 1}{a + x} - \frac{1}{x} = \frac{( n + 1 ) x - ( a + x )}{x ( a + x )} = \frac{n x - a}{x ( a + x )}

である。分母 $x (a + x)$ は正なので、 $f^{'} (x)$ の符号は $n x - a$ の符号で決まる。

したがって $0 < x < \frac{a}{n}$ では $f^{'} (x) < 0$ 、 $x > \frac{a}{n}$ では $f^{'} (x) > 0$ である。よって $x = a / n$ で極小値をとる。

その値を計算する。 $a + \frac{a}{n} = a \frac{n + 1}{n}$ なので $lo g (a + \frac{a}{n}) - lo g (n + 1) = lo g a - lo g n$ である。したがって

f (\frac{a}{n}) = (n + 1) (lo g a - lo g n) - n (lo g a - lo g n) - lo g \frac{a}{n} = lo g a - lo g n - (lo g a - lo g n) = 0

である。よって極値は極小値だけで、その値は $0 (x = \frac{a}{n})$ である。

(2)

$n ≧ 2$ とする。正の数 $\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots, \frac{n + 1}{n}$ の $n$ 個を考える。相加平均・相乗平均の関係より

\frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k + 1}{k} ≧ (\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{n + 1}{n})^{1/ n}

である。

ここで右辺の積は途中がすべて約分されて $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{n + 1}{n} = n + 1$ である。したがって $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k + 1}{k} ≧ (n + 1)^{1/ n}$ である。

さらに、 $n ≧ 2$ のとき、これらの数はすべて等しくない。実際 $\frac{2}{1} \neq = \frac{3}{2}$ である。相加平均・相乗平均で等号が成り立つのはすべての数が等しいときだけなので、今回は等号は成り立たない。よって $\frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k + 1}{k} > (n + 1)^{1/ n}$ が成り立つ。

東北大学 2014年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2014年度
理系数学前期第6問