東北大学 2014年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

整数 $n$ に対して，

I_{n} = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{cos (( 2 n + 1 ) x )}{sin x} d x

とする。

(1) $I_{0}$ を求めよ。

(2) $n$ を正の整数とするとき， $I_{n} - I_{n - 1}$ を求めよ。

(3) $I_{5}$ を求めよ。

出典：東北大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1) は $I_{0}$ を $\int cot x d x$ として直接計算する。(2) は $I_{n} - I_{n - 1}$ の被積分関数を作り、公式 $cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ を用いると分母の $sin x$ が消える。あとは $sin (2 n x)$ の積分を端点 $π /4, π /2$ で評価する。(3) は (2) の差分を $n = 1$ から5まで足し、符号と $cos (nπ /2)$ の値を丁寧に代入する。

解答

(1)

$I_{0} = \int_{π /4}^{π /2} \frac{c o s x}{s i n x} d x$ である。 $sin x > 0$ の範囲で $\frac{d}{d x} lo g (sin x) = \frac{c o s x}{s i n x}$ なので

I_{0} = [lo g (sin x)]_{π /4}^{π /2} = lo g 1 - lo g \frac{2}{2} = lo g 2 = \frac{1}{2} lo g 2

である。

(2)

$n$ を正の整数とする。

I_{n} - I_{n - 1} = \int_{π /4}^{π /2} \frac{cos (( 2 n + 1 ) x ) - cos (( 2 n - 1 ) x )}{sin x} d x

である。

ここで $cos ((2 n + 1) x) - cos ((2 n - 1) x) = - 2 sin (2 n x) sin x$ である。したがって $I_{n} - I_{n - 1} = \int_{π /4}^{π /2} - 2 sin (2 n x) d x$ である。これを積分すると

I_{n} - I_{n - 1} = [\frac{cos ( 2 n x )}{n}]_{π /4}^{π /2} = \frac{cos ( nπ ) - cos ( nπ /2 )}{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} - cos ( nπ /2 )}{n}

である。

(3)

(1)(2)より $I_{5} = I_{0} + \sum_{n = 1}^{5} (I_{n} - I_{n - 1})$ である。各差分を計算する。 $I_{1} - I_{0} = \frac{- 1 - 0}{1} = - 1$ $I_{2} - I_{1} = \frac{1 - ( - 1 )}{2} = 1$ $I_{3} - I_{2} = \frac{- 1 - 0}{3} = - \frac{1}{3}$ $I_{4} - I_{3} = \frac{1 - 1}{4} = 0$ $I_{5} - I_{4} = \frac{- 1 - 0}{5} = - \frac{1}{5}$ である。したがって

I_{5} = \frac{1}{2} lo g 2 - 1 + 1 - \frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} lo g 2 - \frac{8}{15}

である。よって $I_{5} = \frac{1}{2} lo g 2 - \frac{8}{15}$ である。

東北大学 2014年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2014年度
理系数学前期第5問